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如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點.
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A₁BD的距離.

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如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(1)求證：AB₁⊥面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的正弦值；

 

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一．  ADBCA  CABBA  BC

二．   13.3；      14.（-∞，4]；      15. ；        16. .

三．

１７. 解：解：由，得  …3分

                                    ………………6分                 

又   =   。………10分

１８. 解:(I)分別記“客人游覽甲景點”,“客人游覽乙景點”,“客人游覽丙景點”為事件A₁,A₂,A₃.由已知A₁,A₂,A₃相互獨立,P(A₁)＝ 0.4,P(A₂)＝ 0.5,P(A₃)＝ 0.6.

P(ξ＝ 3)＝ P(A₁?A₂?A₃)+P(A₁?A₂?A₃)

＝ P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P(A₁)P(A₂)P(A₃))

＝ 2×0.4×0.5×0.6＝ 0.24.4分………………7分  

(Ⅱ)客人游覽的景點數的可能取值為0,1,2,3.相應地,客人沒有游覽的景點數的可能取值為3,2,1,0,所以ξ的可能取值為1,3.∴P(ξ＝ 1)＝ 1－0.24＝ 0.76. ………12分

19、解：解法一：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結，在正方形中，分別為

的中點，

，

．………………………………….3分

在正方形中，，

平面．………………………………….5分

（Ⅱ）設與交于點，在平面中，作于，連結，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．………………………………….9分

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的正弦值．………………………………….12分

解法二：（Ⅰ）取中點，連結．

為正三角形，．＄

平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，…….3分

，，．

，，

，．

平面．………………………………….6分

（Ⅱ）設平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．…………………………9分

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的正弦值…………………………12

２０. 解：（1）由已知得解得．

設數列的公比為，由，可得．

又，可知，

即， 解得．

由題意得．． 故數列的通項為．…………6

（2）由于

    由（1）得   又          是等差數列．

==

故．…………………………12

21.解：解:(Ⅰ)由題意知f′(x)＝ ax²+bx－a²,且f′(x)＝ 0的兩根為x₁、x₂.

∴x₁+x₂＝ －  x₁x₂＝ －a.

∴(x₂－x₁)²＝ (x₂+x₁)²－4x₁x₂＝ 4.

∴()²+4a＝ 4.

∴b²＝ (4－4a)a². …………………………6分

(Ⅱ)由(1)知b²＝ (4－4a)a²≥0,且0＜a≤1

令函數g(a)＝ (4－4a)a²＝ －4a³+4a²(0＜a≤1)

g′(a)＝ －12a²+8a＝ 8a(1－a)

令g'(a)＝ 0  ∴a₁＝ 0,a₂＝ .

函數g(a)在(0,)上為增函數,(,1)上為減函數.

∴g(a)_max＝ g()＝ .

∴b²≤.

∴|b|≤.…………………………12分

22.解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為…………………………3

設，由題意建立方程組

消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有

       解得………………5

∵

依題意得

整理后得

∴或但   ∴

故直線的方程為…………………………8

設，由已知，得

∴，

又，

∴點

將點的坐標代入曲線的方程，得得，

但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意

∴.…………………………10

點的坐標為

到的距離為

∴的面積…………………………12