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（本小題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱
被平面所截而得． ，為的中點．
（Ⅰ）當時，求平面與平面的夾角的余弦值；
（Ⅱ）當為何值時，在棱上存在點，使平面？

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一、           選擇題：

1、答案：D

解：②表示垂直于同一平面的兩條直線互相平行；

③表示垂直于同一直線的兩個平面互相平行；

2、答案：D ；

解：，非P真；又真，所以選D；

3、答案：B ；

解：本題考查了正方體堆壘問題及數列通項公式的求解.列出該數列的前幾項,通過相鄰項間的關系可得出該數列的規律而得出一等差數列.

由圖示可得,該正方體的個數所組成的數列1,3,6,…, 其后一項減前一項得一數列2,3,4,…為一個等差數列.由此可得第6層的正方體的個數為1,3,6,10,15,21,… ,

故應選B.

4、答案：D ；

解：的圖象向右平移單位后得到：，故選D；

5、答案：B ；

解：據題意可知集合A表示函數的定義域，，易化簡得，由于BA，故當時，即時易知符合題意；當時，，要使BA，結合數軸知需或（經驗證符合題意）或（經驗證不合題意舍去），解得，故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是，故答案為B；

6、答案：D ；

解：由圖象變換可以得到兩個圖象間的關系，函數是由函數的圖象向右平移一個單位得到，而是由函數的圖象關于y軸對稱得到再向右平移一個單位得到，故兩函數的圖象關于直線對稱。故選D

7、答案：B ；

解：兩直線平行,則其斜率相等,利用兩點間直線的斜率公式可以得兩字母間的關系,于是可得兩點間的距離.

由題意得

所以故應選B.

8、答案：B ；

解：由于，故函數的定義域為，根據已知0<a<b<c，則易將函數解析式化簡為= ，故且其定義域關于原點對稱，即函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱。故應選B.

9、答案：C ；

解：本題考查直線的斜率,由垂直關系得兩直線的斜率之積為,再由均值不等式轉化轉化得出不等關系式，分類討論得出的最小值.由題意,

∵兩直線互相垂直,

∴,即,

∴,則.

當時,;當時,.

綜合得的最小值為. 故應選C.

10、答案：C ；

解：由題意可知，存在，使，即，從函數定義出發，畫出映射幫助思考，從A到B再到C是由題意可得，如果繼續對C集合中的，應用法則，則會得到，從B到C再到D的映射為，即存在，使，即函數過點，即方程有解，易知在實數集R上無解故選D。

二、           填空題：

11、答案：1 ；

解：根據集合中元素的確定性，我們不難得到兩集合的元素是相同的，這樣需要列方程組分類討論，顯然復雜又煩瑣．這時若能發現0這個特殊元素，和中的a不為0的隱含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a²＝1，即a＝1或a＝－1，又根據集合中元素的互異性a＝1應舍去，因而a＝－1，故a²⁰⁰⁸＋b²⁰⁰⁸＝(-1) ²⁰⁰⁸＝1．

12、答案：120度；

解：依題意可知：A、O、B、C構成平形四邊形，，故的內角C為120度；

13、答案：；

解：

.

14、答案： ；

解：，設，依題意可知：，又P在曲線上，故，故點P的坐標為 ；

15、答案：49 ；

解：本題考查用取特殊值法進行驗證.由題意分析,

不妨設各個格中的數都為1, 則符合題意要求,所以表中所有數字之和為49.

三、            解答題：

16、 解:（１）因為              

，   

所以．          

（２）由即，

亦即．

故，

當且僅當時取得等號．

又．

故當時有有最大值．  

17、 解:(Ⅰ)從九個小球中任取三個共有種取法，它們是等可能的.設恰好有一球編號是3的倍數的事件為A，

則.

(Ⅱ)設至少有一球編號是3的倍數的事件為B，

則 .

（Ⅲ）設三個小球編號之和是3的倍數的事件為C，設集合, ,則取出三個小球編號之和為3的倍數的取法共有種，則.

18、解：設橢圓方程為

（Ⅰ）易得所求橢圓方程為.

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為

由，消去y得關于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得

又由韋達定理得原點到直線的距離.

對兩邊平方整理得：（*）∵，

整理得： 又，      從而的最大值為，此時代入方程（*）得  

所以，所求直線方程為：.

19、（Ⅰ）解：（1）3－k²>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓；

（2） 1－k>3－k²>0k∈（－，－1），方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓；

（3）1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一個圓；

（4）（1－k）（3－k²）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是雙曲線；

（5）k=1，k=－，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.

（Ⅱ）解：依題意，設雙曲線的方程為－=1（a>0，b>0）.∵e==，c²=a²+b²，∴a²=4b².

設M（x，y）為雙曲線上任一點，則|PM|²=x²+（y－5）²=b²（－1）+（y－5）²=（y－4）²+5－b²（|y|≥2b）.

①若4≥2b，則當y=4時，|PM|_min²=5－b²=4，得b²=1，a²=4.從而所求雙曲線方程為－x²=1.

②若4<2b，則當y=2b時，|PM|_min²=4b²－20b+25=4，得b=（舍去b=），b²=，a²=49.

從而所求雙曲線方程為－=1.

20、解：如圖，連結，由為中點，則從而.故AM和所成的角為所成的角，易證≌。所以，故所成的角為。又設AB的中點為Q，則又從而CN與AM所成的角就是（或其補角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角為。

21、解  （1）當a=1,b=?2時，f(x)=x²?x?3，

由題意可知x=x²?x?3，得x₁=?1,x₂=3 

故當a=1,b=?2時，f(x)的兩個不動點為?1,3 

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個不動點，

∴x=ax²+(b+1)x+(b?1)，

即ax²+bx+(b?1)=0恒有兩相異實根

∴Δ=b²?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 

于是Δ′=(4a)²?16a＜0解得0＜a＜1

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1 

（3）由題意A、B兩點應在直線y=x上，設A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B關于y=kx+對稱 

∴k=?1  設AB的中點為M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b?1)=0的兩個根 

∴x′=y′=，

又點M在直線上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2當且僅當2a=即a=∈(0,1)時取等號，

故b≥?，得b的最小值? 

作者：     湖南省衡陽市祁東縣育賢中學  高明生  彭鐵軍

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