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是否存在常數a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）對于一切正整數n都成立？并證明你的結論．

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一、選擇題

1．A    2．B    3．D    4．B    5．B    6．B    7．C    8．A    9．C

10．B   11．B   12．C

二、填空題

13．                 －3

14．

15．2

16．

三、解答題

17．解：原不等式可化為

即

………………………………6分

當…………8分

當…………10分

當…………12分

18．解：

………………6分

   （1）函數的最小正周期…………8分

   （2）

取得最大值.

最大值為………………12分

19．解：

   （1）甲恰好投中2次的概率為………………3分

   （2）乙至少投中2次的概率為…………7分

   （3）設甲、乙兩人共投中5次為事件A，甲恰好投中3次且乙恰投中2次為事件B₁，甲恰投中2次且乙恰好投中3次為事件B₂，則A=B₁+B₂，B₁，B₂為互斥事件.

………………9分

………………11分

所以，甲、乙兩人共投中5次的概率為 ………………12分

20．解：

   （1）

解得（舍去）…………5分

   （2）假設存在a，b使得

即

…………9分

對于一切自然數

解得……………………12分

21．解：

   （1）設橢圓方程為，則

，

由題意得………………4分

故橢圓方程為………………6分

   （2）設，

…………10分

當取到最大值，此時最大，故的最大為………………12分

22．解：由題設x₁和x₂是方程.

所以

當………………3分

由題意，不等式對于任意實數恒成立的m的解集等價于不等式3的解集，由此不等式得

  ①

或②………………6分

不等式①的解為不等式②的解集為

因此，當時，P是正確的…………7分

對函數，求導得

令

此一元二次方程的判別式

若的符號如下

x

+

0

+

因此，的根植.

若的符號如下

x

（）

+

0

－

0

+

因此，函數處取得極大值，在處取得極小值

綜上述，當且僅當上有極值…………12分

由是正確的.

綜上，使p正確且q正確時，實數m的取值范圍是

…………………………14分