已知數列{a_n}的通項公式為．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比數列，求a的值；
（2）是否存在k（k≥3且k∈N），使得a₁，a₂，a_k成等差數列，若存在，求出常數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）求證：數列中的任意一項a_n總可以表示成數列中其它兩項之積．

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

（本小題滿分12分）

數列滿足，是常數．

   （1）數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

   （2）求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有．