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四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點，Q為CD的中點．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求AQ與平面CDM所成的角．

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四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點，Q為CD的中點．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求AQ與平面CDM所成的角．

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

D

A

C

B

A

C

B

C

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.其中12題的第一個空3分，第二

個空2分.

11..     12..     13..     14..

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.

15．解：(1) 根據題意，可知，，即.  ……………………………2分

于是.  ………………………………………………………………………………………………3分

將點代入，得

即.     …………………………………………………………5分

滿足的最小正數.  ……………………………………………………………7分

從而所求的函數解析式是.    ……………………………………………8分

(2)略.（振幅變換1分.周期變換、相位變換做對一個2分，全對3分）   ……12分

16．解：顯然是隨機變量.

(1)..  …………………………………6分

    (2)由的期望為，得

，即. …………………9分

    根據表中數據，得，即. ………………………………………………11分

    聯立解得. …………………………………………………………………………………………12分

17.解：(1)連結PQ，AQ.

∵△PCD為正三角形，  ∴PQ⊥CD.

∵底面ABCD是∠ADC的菱形，∴AQ⊥CD.

∴CD⊥平面PAQ.  ………………………………………………………………………………………………4分

∴PA⊥CD.

(2)設平面CDM交PA于N，∵CD//AB，  ∴CD//平面PAB.  ∴CD//MN.

由于M為PB的中點，∴N為PA的中點.

又PD=CD=AD，∴DN⊥PA.

    由(1)可知PA⊥CD，

∴PA⊥平面CDM.  ………………………………………………………………………………………………8分

∴平面CDM⊥平面PAB.

∵PA⊥平面CDM，聯接QN、QA，則ÐAQN為AQ與平面CDM所成的角.  ……10分

在RtDPMA中，AM=PM=，

∴AP=，∴AN=，sinÐAQN==.

∴ÐAQN =45°.  …………………………………………………………………………………………………14分

(2)另解（用空間向量解）：

由(1)可知PQ⊥CD，AQ⊥CD.

又由側面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ.

因此可以如圖建立空間直角坐標系. ………………………………………………………6分

易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、

C（0 , 1 , 0）、D（0 , -1 , 0）. ………………………………………………………………………………7分

①由=（, 0 , -），=（0 , -2 , 0），得×=0.

∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分

②由M（, 1 , -），=（, 0 , -），得×=0.

∴PA⊥CM . …………………………………………………………………………………………………………10分

∴PA⊥平面CDM，即平面CDM⊥平面PAB.

從而就是平面CDM的法向量. ………………………………………………………………………12分

設AQ與平面所成的角為q ，

則sinq =|cos<,>|=.

∴AQ與平面所成的角為45°. ……………………………………………………………………………14分

18．解：(1)根據題意，有解，

∴即. ……………………………………………………………………………3分

(2)若函數可以在和時取得極值，

則有兩個解和，且滿足.

易得.  ………………………………………………………………………………………………6分

(3)由(2)，得. ………………………………………………………………7分

根據題意，()恒成立.  ……………………………………………9分

∵函數（）在時有極大值（用求導的方法），

且在端點處的值為.

∴函數（）的最大值為.   …………………………13分

所以. …………………………………………………………………………………………………………14分

19．解：(1)由于橢圓過點，

    故. ………………………………………………………………………………………………………………1分

,橫坐標適合方程

解得(即)．………………………………………………………4分

即,橫坐標是(即).……………………………………5分

(2)根據題意，可設拋物線方程為．  …………………6分

∵，∴．………………………………………………………………7分

把和（等同于,坐標（，））代入式拋物線方

程，得. ……………………………………9分

令．……………………………………10分

則內有根（并且是單調遞增函數），

∴………………………………………………………………13分

解得． …………………………………………………………………………………………14分

(注：未得到，后續解答若過程正確可酌情給一半分)

20．解：（1）∵f₁(0)=2，a₁==，f_n+1(0)= f₁［f_n(0)］=, …………2分

∴a_n+1==== -= -a_n. ……………4分

∴數列｛a_n｝是首項為,公比為-的等比數列，∴a_n=()^n-1.  ………………5分

（2）∵T_{2 n} = a₁+2a ₂+3a ₃+…+(2n-1)a _{2 n-1}+2na _{2 n}，

∴T_{2 n}= (-a₁)+(-)2a ₂+(-)3a ₃+…+(-)(2n-1)a_{2 n－1}+2na_{2 n}

= a ₂+2a ₃+…+(2n－1)a_{2 n}－na_{2 n}.

兩式相減，得T_{2 n}= a₁+a₂+a ₃+…+a_{2 n}+na_{2 n}.  ……………………………………………………7分

∴T_2n =+n×(-)^2n-1=-(-)²ⁿ+(-)^2n-1.

T_2n =-(-)²ⁿ+(-)^2n-1=(1-).    …………………………………………………9分

∴9T_2n=1-.

又Q_n=1-， ……………………………………………………………………………………………10分

當n=1時，2^{2 n}= 4,(2n+1)²=9,∴9T_{2 n}＜Q _n；  ……………………………………………………11分

當n=2時，2^{2 n}=16,(2n+1)²=25,∴9T_{2 n}＜Q_n；   …………………………………………………12分

當n≥3時，，

∴9T_{2 n}＞Q _n. …………………………………………………………………………………………………………14分