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已知函數(shù).
(I)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)若不等式有解,求實(shí)數(shù)m的取值菹圍；
(Ⅲ)定義：對(duì)于函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，稱的值為兩函數(shù)在處的差值。證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大干2。

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一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。

1．A

2．D    對(duì)“若則”的否定已經(jīng)不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設(shè)命題的結(jié)論不成立為非，選D。

3．B    因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)時(shí)，分母最小，從而最大為2，選B。

4．C

5．B    設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為（其中），則

于是它的首項(xiàng)是2，選B

6．D    因?yàn)?sub>的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，于是，解得，選D

7．D    在直角坐標(biāo)系中較準(zhǔn)確地作出點(diǎn)A、B、C，并結(jié)合代值驗(yàn)證，可知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足選擇支D的解析式，選D。

8．C    因?yàn)榉帜傅臉O限為零，不能直接使用商的極限運(yùn)算法則，但這里分子的極限也是零，分子、分母極限之所以為零，就式因?yàn)榉肿�、分母都包含�?sub>的因子，先把零因式消去，然后再求極限，得

，選C。

9．A    函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），當(dāng)≥1時(shí)，≥0，有；當(dāng)時(shí)，，有，選A。

10．B    根據(jù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像從左到右是上升的，表明對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得，有

，選B.

11．A    由可得    和。容易驗(yàn)證，即。而滿足條件：“”的附屬不一定滿足條件：“”，比如取，即。選A.

12．C    設(shè)，則B,有

，∴。由于A、B兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則＝1，∴，而點(diǎn)A又在函數(shù)的圖像上，∴，得，有，于是，選C。

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

13．或等。

14．原式＝。

15．由圖知車速小于90km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為（0.01+0.02+0.04）×10＝0.7，∴車速不小于90km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為1－0.7＝0.3。因此在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的車速不小于90km/h的汽車有1000×0.3＝300輛。

16．原不等式等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。故

∴，∴。

三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟。

17．（本題滿分12分）

解法一 原不等式等價(jià)于

                     或

                                                   ………………12分

解法二 原不等式等價(jià)于

或

或

說明  本題是教材第一冊(cè)上頁習(xí)題1.5第5題：解不等式的改變，這是關(guān)于的二次雙連不等式，若轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次不等式組成的不等式組來解時(shí)，只要善于正確因式分解，數(shù)軸標(biāo)根，也能快速解決。

18．（本題滿分12分）

（1）當(dāng)時(shí)，等式左邊＝，右邊＝，所以對(duì)n＝2時(shí)，等式成立�！�……………2分

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，則對(duì)n＝k+1時(shí)，，而）＝＝＝，表明時(shí)，等式成立。              ………………10分

由（1），（2）可知對(duì)一切的自然數(shù)等式都成立。                …………12分

19．（本題滿分12分）

設(shè)表示每臺(tái)的利潤，y表示周銷售量，則經(jīng)過了點(diǎn)（20，0），（0，35），

∴解得                     ………………4分

即或，其中

因此，商店一周中所獲利潤總額為：

每臺(tái)利潤×銷售量＝

                   ＝                ………8分

由于y是正整數(shù)，所以當(dāng)周銷售量為y＝17或18時(shí)，利潤總額最大，為元，此時(shí)元或10.3元。               ………………12分

20．（本小題滿分12分）

（1）由得a＝0.18，得b＝0.36                           ………………4分

（2）甲種棉花纖維長度的期望為

_甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30

_乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30             ………8分

_甲＝

_乙＝

由于_甲>_乙，即乙種棉花纖維長度的方差小些，所以乙種棉花的質(zhì)量較好些（纖維長度比較均勻）………………12分

說明：本題是選修教材17頁8題的改編。

21．（本題滿分12分）

（1）延長FE與AB交于點(diǎn)P，則

∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴，                  …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）

即。                     ………………6分

∵  ∴（*）式成立的充要條件是，

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為，        ……8分

（2）因?yàn)?sub>，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，                                          ………10分

       所以正方形的面積當(dāng)時(shí)取得最大值………12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得與的函數(shù)關(guān)系式為（）

22．（本題滿分14分）

（1）令，

則                        ……3分

因，∴，故函數(shù)在上是增函數(shù)。

又在處連續(xù)，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)。

∴時(shí)，即  ………………6分

（2）令              ……8分

則

令，則，-1，1。                                    …10分

當(dāng)x變化時(shí)，、的變化關(guān)系如下表：

（―1，0）

0

（0，1）

1

―

0

+

0

―

0

+

極小值

極大值0

極小值

據(jù)此可畫出的簡(jiǎn)圖如下，…………12分

故存在，使原方程有4各不同實(shí)根�！�……………14分