題目列表(包括答案和解析)
如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．| π | 4 |
，柱體體積為：底面積乘以高。本題結果精確到0.1米）。
(1)若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？
(2)若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？
(半個橢圓的面積公式為S=
lh,柱體體積為底面積乘以高.本題結果均精確到0.1米)
（1）若最大拱高h為
（2）若最大拱高h不小于
（半個橢圓的面積公式為S=
lh,柱體體積為：底面積乘以高.本題結果均精確到
（1）若最大拱高h為
（2）若最大拱高h不小于
（半個橢圓的面積公式為S=
lh，柱體體積為：底面積乘以高.本題結果均精確到
說明
1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精進行評分。
2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分。
一、（第1題到第12題）
（1）p （2）
（3）－49 （4）
（5）arctg2 （6）[1，3] （7）
（8）
（a1>0，0<q<1的一組數）
（9）
（10）2.6 （11）4p （12）|PF2|=17
二、（第13題至第16題）
（13）C （14）D （15）D （16）B
三、（第17題至第22題）
（17）[解] |z1?z2| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|
故|z1?z2|的最大值為
，最小值為
．
（18）[解]連結BC，因為B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD．
在△BCD中，BC=2，CD=4，
所以
又因為直線B1D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB＝30°，于是
故平行六面體ABCD－A1B1C1D1的體積為
（19）[解]（1）
（2）歸納概括的結論為：
若數列｛an｝是首項為a1，公比為q的等比數列，則
，n為整數．
證明：
（20）[解]（1）如圖建立直角坐標系，則點p（11，4.5），
橢圓方程為
將b=h＝6與點p坐標代入橢圓方程，得
，此時
因此隧道的拱寬約為33.3米．
（2）由橢圓方程
得 
因為
即ab≥99，且l＝2a，h＝b，
所以
當S取最小值時，有，得
故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米，土方工程量最小．
[解二]由橢圓方程得
于是
即ab≥99，當S取最小值時，有
得以下同解一．
（21）[解]（1）設
，則由
即
得
或
因為
所以 v－3>0，得 v＝8，故 
（2）由
得B（10，5），于是直線OB方程：
由條件可知圓的標準方程為：（x－3）2＋（y＋1）2＝10，
得圓心（3，－1），半徑為
設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x，y），則
得
故所求圓的方程為（x－1）2＋（y－3）2＝10．
（3）設P（x1，y1），Q（x2，y2）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則
得
即x1、x2為方程
的兩個相異實根，
于是由
得
故當
時，拋物線y =ax2－1上總有關于直線OB對稱的兩點．
（22）[解]（1）對于非零常數T，f （x+T）=x+T，Tf （x）＝Tx．
因為對任意x∈R，x+T =Tx不能恒成立，
所以f （x）＝x M ．
（2）因為函數f （x）=ax （a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，
所以方程組：
有解，消去y得ax=x，
顯然x=0不是方程的ax=x解，所以存在非零常數T，使aT=T．
于是對于f （x）=ax ，有
f （x＋T）=ax+T = aT?ax=T?ax =T f （x），
故f （x）=ax∈M．
（3）當k=0時，f （x）=0，顯然f （x）=0∈M．
當k≠0時，因為f （x）=sinkx∈M，所以存在非零常數T，
對任意x∈R，有
f （x＋T）= T f （x）成立，即sin（kx＋kT）= T sinkx．
因為k≠0時，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin（kx＋kT） ∈[－1，1]，
故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立，只有T=±1．
當T＝1時，sin（kx＋k）= sinkx成立，則k=2mp，m∈Z．
當T＝－1時，sin（kx－k）= －sinkx成立，
即sin（kx－k＋p） = sinkx成立，
則－k＋p =2mp，m∈Z，即k= －（2m－1） p，m∈Z．
綜合得，實數k的取值范圍是{k | k= mp，m∈Z }．
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