題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如下圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20 m，要求通行車輛限高5 m，隧道全長2.5 km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．
（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？
（已知：橢圓
+
=1的面積公式為S=
，柱體體積為底面積乘以高.）
（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的
倍，試確定M、N的位置以及
的值，使總造價最少.
（本小題滿分12分）已知函數
處的切線恰好為
軸。 （I）求
的值；（II）若區間
恒為函數
的一個單調區間，求實數
的最小值；（III）記
（其中
），
的導函數，則函數
是否存在極值點？若存在，請找出極值點并論證是極大值點還是極小值點；若不存在，請說明理由。
（本小題滿分12分）如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點。已知AB=3米，AD=2米。
（I）設
（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求
的取值范圍；
（II）若
（單位：米），則當AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積。
（本小題滿分12分）自然狀態下的魚類是一種可再生的資源，為了持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響。用
表示某魚群在第
年初的總量，
，且
。不考慮其他因素，設在第年內魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與
成正比，這些比例系數依次為正數
其中
稱為捕撈強度。
（1）求
與的關系式；
（2）設
，為了保證對任
意
，都有
，則捕撈強度的最大允許值是多少？證明你的結論。
（本小題滿分12分）有這樣一則公益廣告:“人們在享受汽車
帶來的便捷與舒適的同時，卻不得不呼吸汽車排放的尾氣”，汽車已是城市中碳排放量比較大的行業之一．某市為響應國家節能減排，更好地保護環境，決定將于
年起取消
排放量超過
的
型新車掛牌．檢測單位對目前該市保有量最大的甲類型品牌車隨機抽取
輛進行了排放量檢測，
記錄如下（單位：
）.
(Ⅰ)已知
，求
的值及樣本標準差；
（Ⅱ）從被檢測的甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛不符合
排放量的概率是多少？
一、選擇題
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）B
（7）C （8）A （9）B （10）A （11）B （12）C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
（13）28 （14）
（15）
（16）2
三、解答題
（17）本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，二倍角公式以及三角函數式的恒等變形等基礎知識和基本技能.滿分12分.
解：
當
為第二象限角，且
時
，
所以
=
（18）本小題主要考查函數的導數計算，利用導數討論函數的性質，判斷函數的最大值、最小值以及綜合運算能力.滿分12分.
解：
令 
化簡為
解得
當
單調增加；
當
單調減少.
所以
為函數
的極大值.
又因為 
所以 
為函數在[0，2]上的最小值，為函數
在[0，2]上的最大值.
（19）本小題主要考查離散型隨機變量的分布列、數學期望等概念，以及運用概率統計知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解：（Ⅰ）
的可能值為－300，－100，100，300.
P（=－300）=0.23=0.008,
P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,
P（=100）=3×0.2×0.82=0.384,
P（=300）=0.83=0.512,
所以的概率分布為
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
根據的概率分布，可得的期望
E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.
（Ⅱ）這名同學總得分不為負分的概率為P（≥0）=0.384+0.512=0.896.
，四棱錐P―ABCD的體積
所以PA⊥BD.
的方程為
，即 
，得到點（1，0）到直線
，
即 
由于
所以
的取值范圍是
得
為整數，從而
是公比
的等比數列，且首項
，所以