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（本小題滿分12分）函數在一個周期內，當時，取最小值1;當時，最大值3.(I)求的解析式；(II)求在區間上的最值.

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說明：

一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則。

二、對解答題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。

三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。

四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.

1.B  2.B  3.D  4.D  5.C  6.C  7.C  8.B  9.A  10.A  11.B  12.A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分16分。

13．－160     14．    15．576     16．

三、解答題

17．本小題主要考查空間中的線面關系，三棱錐、球的有關概念及解三角形等基礎知識，考

（Ⅰ）證明： 連結CF.

……4分

（Ⅱ）解法一：

為所求二面角的平面角. 設AB=a，則AB=a，則

……………………8分

解法二：設P在平面ABC內的射影為O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 為所求二面角的平面角.

設AB=a，則   …………8分

（Ⅲ）解法一：設PA=x，球半徑為R.

，的邊長為.………12分

解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑.

連結OA、AD，可知△PAD為直角三角形.  設AB=x，球半徑為R.

.……12分

18．本小題主要考查根據圖形建立函數關系、三角函數公式、用反三角函數表示角以及解和

三角函數有關的極值問題等基礎知識，考查綜合運用三角函數知識的能力. 滿分12分.

（Ⅰ）解：設S為十字形的面積，則 

………………4分

（Ⅱ）解法一：

其中………8分   當最大.……10分

所以，當最大. S的最大值為…………12分

解法二： 因為 所以

……………………8分

令S′=0，即

可解得  ………………10分

所以，當時，S最大，S的最大值為  …………12分

19．本小題主要考查數列、等比數列、不等式等基本知識，考查運用數學歸納法解決有關問題的能力，滿分12分。

   （Ⅰ）證明：當  因為a₁=1，

所以 ………………2分

下面用數學歸納法證明不等式

   （1）當n=1時，b₁=，不等式成立，

   （2）假設當n=k時，不等式成立，即

那么     ………………6分

所以，當n=k+1時，不等也成立。

根據（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。  …………8分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，

所以 

…………10分 

故對任意………………（12分）

20．（本小題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的分布列及期望、線性規劃模型的建

立與求解等基礎知識，考查通過建立簡單的數學模型以解決實際問題的能力，滿分12

分.

（Ⅰ）解：…………2分

（Ⅱ）解：隨機變量、的分別列是

5

2.5

P

0.68

0.32

2.5

1.5

P

0.6

0.4

 …………6分

作出可行域（如圖）：

作直線 

將l向右上方平移至l₁位置時，直線經過可行域上

的點M點與原點距離最大，此時                …………10分

取最大值. 解方程組     

       得即時，z取最大值，z的最大值為25.2 .……………12分

21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標準方程和有關性質，軌跡的求法和應

用，以及綜合運用數學知識解決問題的能力.滿分14分.

由P在橢圓上，得

由，所以 ………………………3分

證法二：設點P的坐標為記

則

由

證法三：設點P的坐標為橢圓的左準線方程為

      由橢圓第二定義得，即

       由，所以…………………………3分

（Ⅱ）解法一：設點T的坐標為 

           當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.

當|時，由，得.

又，所以T為線段F₂Q的中點.

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點T的軌跡C的方程是…………………………7分

解法二：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.

       當|時，由，得.

       又，所以T為線段F₂Q的中點.

       設點Q的坐標為（），則

       因此                          ①

       由得        ②

       將①代入②，可得

       綜上所述，點T的軌跡C的方程是……………………7分

   （Ⅲ）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是

       由③得，由④得  所以，當時，存在點M，使S=；

       當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分

       當時，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是

       由④得  上式代入③得

       于是，當時，存在點M，使S=；

       當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分

       當時，記，

       由知，所以…………14分

22．本小題考查導數概念的幾何意義，函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的大小關系.考查學生的學習能力、抽象思維能力及綜合運用數學基本關系解決問題的能力.滿分12分

   （Ⅰ）解：…………………………………………2分

   （Ⅱ）證明：令

        因為遞減，所以遞增，因此，當；

        當.所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的

最小值為0，因此即…………………………6分

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

        對任意成立的充要條件是

       另一方面，由于滿足前述題設中關于函數的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為

       于是的充要條件是…………………………10分

       綜上，不等式對任意成立的充要條件是

                                                  ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.…………12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

       對任意成立的充要條件是

        ………………………………………………………………8分

       令，于是對任意成立的充要條件是

        由

       當時當時，，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分

       綜上，不等式對任意成立的充要條件是

                ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式  ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.…………12分