題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
某次國際象棋友誼賽在中國隊和烏克蘭隊之間舉行，比賽采用積分制，比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據以往戰況，每局中國
隊贏的概率為
，烏克蘭隊贏的概率為
，且每局比賽輸贏互不影響.若中國隊第n局的得分記為
，令
.
（1）求
的概率；
（2）若規定：當其中一方的積分達到或超過4分時，比賽不再繼續，否則，繼續進行.設隨機變量
表示此次比賽共進行的局數，求的分布列及數學期望.
（本小題滿分12分）
某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.
（I）假設n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X，求X的分布列和數學期望；
（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：
分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？
附：樣本數據x1，x2，…，xa的樣本方差
，其中
為樣本平均數.
（本小題滿分12分）
某電視臺擬舉行“團隊共享”沖關比賽，其規則如下：比賽共設有“常識關”和“創新關”兩關，每個團隊共兩人，每人各沖一關，“常識關”中有2道不同必答題，“創新關”中有3道不同必答題；如果“常識關”中的2道題都答對，則沖“常識關”成功且該團隊獲得單項獎勵900元，否則無獎勵；如果“創新關”中的3道題至少有2道題答對，則沖“創新關”成功且該團隊獲得單項獎勵1800元，否則無獎勵．現某團隊中甲
沖擊“常識關”，乙沖擊“創新關”，已知甲回答“常識關”中每道題正確的概率都為
，乙回答“創新關”中每道題正確的概率都為
，且兩關之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨立．
(I)求此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵的概率；
(Ⅱ)記此沖關團隊獲得的獎勵總金額為隨機變量
，求的分布列和數學期望
．
（本小題滿分12分）
假設某班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節課上課預備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關閉，且概率均為0.5，記此時教室里敞開的窗戶個數為
．
(1)求的分布列,以及的數學期望；
(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關閉，班長就會將關閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節課上課時該教室里敞開的窗戶個數為
，求的數學期望．
（本小題滿分12分）
某電視臺擬舉行“團隊共享”沖關比賽，其規則如下：比賽共設有“常識關”和“創新關”兩關，每個團隊共兩人，每人各沖一關，“常識關”中有2道不同必答題，“創新關”中有3道不同必答題；如果“常識關”中的2道題都答對，則沖“常識關”成功且該團隊獲得單項獎勵900元，否則無獎勵；如果“創新關”中的3道題至少有2道題答對，則沖“創新關”成功且該團隊獲得單項獎勵1800元，否則無獎勵．現某團隊中甲沖擊“常識關”，乙沖擊“創新關”，已知甲回答“常識關”中每道題正確的概率都為
，乙回答“創新關”中每道題正確的概率都為
，且兩關之間互不影響，每道題回答正確與否相互獨立．
(I)求此沖關團隊在這5道必答題中只有2道回答正確且沒有獲得任何獎勵的概率；
(Ⅱ)記此沖關團隊獲得的獎勵總金額為隨機變量
，求的分布列和數學期望
．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1―5：CBCBD 6―10：DCAA
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9． 10． 11．15 12．（1，e） e 13．②③ 14．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（共13分）
解：（I） 令，解得
所以函數的單調遞減區間為
（II）因為
所以
因為在（－1，3）上，所以在[－1，2]上單調遞增，又由于在
[－2，－1]上單調遞減，因此和分別是在區間[－2，2]上的最大值和
最小值.
于是有，解得
故 因此
即函數在區間[－2，2]上的最小值為－7.
解法一：
（Ⅰ）在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，
∵A1A⊥底面ABCD，
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，
∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.
（Ⅱ）連結A1E，C1E，A1C1.
與（Ⅰ）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1二面角A1―BD―C1的平面角.
∵AD⊥DC， ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2， AA1=，且AC⊥BD，
∴A1C1=4，AE=1，EC=3， ∴A1E=2，C1E=2，
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2， ∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1―BD―C1的大小為90°.
（Ⅲ）過B作BF//AD交AC于F，連結FC1，
則∠C1BF就是AD與BC1所成的角.
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1， ∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，
∴FC1=. 在△BFC1中，
∴
即異面直線AD與BC1所成角的大小為.
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.
與（Ⅰ）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.
（Ⅲ）如圖，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）
∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.
解法三：
（II）如圖，建立空間直角坐標系，坐標原點為E.
連結A1E，C1E，A1C1.
與（I）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.
由E（0，0，0），A1（0，－1，
.
（Ⅲ）如圖，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.
得.
∵
∴
∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.
17．（共13分）
解：（Ⅰ）
ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0?+1?+2?+3?=1.5 （或Eξ=3?）
（Ⅱ）乙至多擊中目標2次的概率為
（Ⅲ）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B1，甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件B2，則A=B1+B2，B1、B2為互斥事件.
P（A）=P（B1）+P（B2）=
所以，甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為
18．（共14分）
解：（I）
（II）直線由題意得
（III）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為. 由于直線l，曲線C關于x軸對稱，且l1與l2關于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點坐標都為（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標都為，即它們的重心重合.
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為
由
由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知
于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合.
19．（共12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）因為
所以
猜想：是公比為的等比數列.
證明如下： 因為
所以是首項為的等比數列.
（Ⅲ）
20．（共14分）
（Ⅰ）證明：設的峰點，則由單峰函數定義可知，上單調遞增，
在上單調遞減.
當，
這與是含峰區間.
當
這與是含峰區間.
（II）證明：由（I）的結論可知：
當f(x1)≥f(x2)時，含峰區間的長度為l1=x2；
當f(x1)≤f(x2)時，含峰區間的長度為l2=1－x1；
對于上述兩種情況，由題意得
① 由①得1+x2－x1≤1+2r，即x2－x1≤2r.
又因為x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，所以 x2－x1=2r. ②
將②代入①得 x1≤0.5－r, x2≥0.5+r. ③
由①和③解得x1=0.5－r, x2=0.5+r.
所以這時含峰區間的長度l1=l2=0.5+r，即存在x1 , x2使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r.
（Ⅲ）解：對先選擇的x1, x2, x1 <x2， 由（II）可知 x1+x2=1， ④
在第一次確定的含峰區間為（0，x2）的情況下，x3的取值應滿足 x3+x1=x2 , ⑤
由④與⑤可得 當x1>x3時，含峰區間的長度為x1.
由條件x1－x3≥0.02, 得x1－(1－2x1) ≥0.02, 從而x1≥0.34.
因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取
x1=0.34, x2=0.66, x3=0.32.
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com