題目列表(包括答案和解析)
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
B
D
A
D
D
A
B
A
二.填空題
13. 
.; 14. 
; 15. 15;
16. 
,
可以填寫任意實數
三、解答題
17．（Ⅰ）
(Ⅱ)
由
得
,從而
,即 
.所以,函數
與
軸交點的橫坐標為
.
12分
18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．
（I）該班學生參加活動的人均次數為
=
． 3分
（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為
．
6分
（III）從該班中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件
，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件
，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件
．易知
；
8分
.
10分
的分布列：
0
1
2
的數學期望：
．
12分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′
面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分
（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC
垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，
∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中，
。∴
，
即二面角D′―BC―E的正切值為
.
12分
法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，則
設平面BEC的法向量為
；平面D′BC的法向量為
由
.取
∴
。
∴二面角D′―BC―E的的正切值為.
20. (Ⅰ）設C方程為
，則b = 1.
∴橢圓C的方程為 
…………………………………………………6分
（Ⅱ）假設存在直線
,使得點
是
的垂心.易知直線
的斜率為
，從而直線的斜率為1.設直線的方程為
，代如橢圓的方程，并整理可得
.設
，則
，
.于是
解之得
或
.
當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當
時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意. 所以，當且僅當直線的方程為
時, 點是的垂心. 12分
21. （Ⅰ）注意到當
時, 直線
是拋物線
的對稱軸，分以下幾種情況討論.
(1) 當a>0時，函數y=
, 
的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由<0知在
上單調遞增，∴
.
(2)當a=0時，
, ,∴
. 3分
(3)當a<0時,函數y=, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若
，即
則
4分
若
，即
,則
5分
若
，即
,則.
6分
綜上有
7分
（Ⅱ）當
時，
，所以， g(a)在
上單調遞增，于是由g(a)的不減性知
等價于
或
解之得
或
.所以，
的取值范圍為
.
12分
22.(Ⅰ)對一切
有
，即 
, 
(
) 4分
由
及
兩式相減,得: 
∴
是等差數列,且
,
.
8分
說明:本小題也可以運用先猜后證(數學歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得3分,證明給5分.
(Ⅱ) 由,知
,因此,只需證明
.
10分
當
或
時,結論顯然成立.當
時,
所以,原不等式成立. 14分
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