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已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界對數的底，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g(x)=

ln|x|

|x|

，x∈[-e，0)，求證：當a=-1時，f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）是否存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是3？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

已知定義在R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數）．
（Ⅰ）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（Ⅱ）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（Ⅲ）當f（x）是奇函數時，證明對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

已知函數f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且y=f（x）的圖象經過點（1，n²），n=1，2，…，數列{a_n}為等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當n為奇數時，設g(x)=

1

2

[f(x)-f(-x)]，是否存在自然數m和M，使得不等式m＜g(

1

2

)＜M恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

已知函數f（x）=

x2+1

ax+b

是其定義域內的奇函數，且f（1）=2，
（1）求 f（x）的表達式；
（2）設F（x）=

x

f(x)

（ x＞0 ），求F（1）+F（2）+F（3）+…+F(2007)+F(

1

2

)+F(

1

3

)+…+F(

1

2007

)的值．