本題主要考查直線.拋物線.不等式等基礎知識.求軌跡方程的方法.解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分. 解:(Ⅰ)設P(x1.y1).Q(x2.y2).M(x0.y0).依題意x1≠0.y1>0.y2>0. 由y=x2. ① 得y＇=x. ∴過點P的切線的斜率k切= x1. ∴直線l的斜率kl=-=-. ∴直線l的方程為y-x12=- (x-x1). 方法一: 聯立①②消去y.得x2+x-x12-2=0. ∵M是PQ的中點 x0==-. ∴ y0=x12-(x0-x1). 消去x1.得y0=x02++1(x0≠0). ∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0). 方法二: 由y1=x12.y2=x22.x0=. 得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2). 則x0==kl=-. ∴x1=-. 將上式代入②并整理.得 y0=x02++1(x0≠0). ∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0). (Ⅱ)設直線l:y=kx+b.依題意k≠0.b≠0.則T(0.b). 分別過P.Q作PP＇⊥x軸.QQ＇⊥y軸.垂足分別為P＇.Q＇.則 . y=x2 由消去x.得y2-2(k2+b)y+b2=0. ③ y=kx+b y1+y2=2(k2+b). 則 y1y2=b2. 方法一: ∴|b|()≥2|b|=2|b|=2. ∵y1.y2可取一切不相等的正數. ∴的取值范圍是(2.+). 方法二: ∴=|b|=|b|. 當b>0時.=b==+2>2, 當b<0時.=-b=. 又由方程③有兩個相異實根.得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0. 于是k2+2b>0.即k2>-2b. 所以>=2. ∵當b>0時.可取一切正數. ∴的取值范圍是(2.+). 方法三: 由P.Q.T三點共線得kTQ=KTP. 即=. 則x1y2-bx1=x2y1-bx2.即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2). 于是b==-x1x2. 2 2 ∴==+=+≥2. ∵可取一切不等于1的正數. ∴的取值范圍是(2.+). 【查看更多】

本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

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如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

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（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

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