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已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，求線段AB的長；
（2）若向量

OA

與向量

OB

互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點），當(dāng)橢圓的離心率e∈[

1

2

，

2

2

]時，求橢圓的長軸長的最大值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（0，2），離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+1與橢圓相交于A，B兩點，求S_△AMB．

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，M為AB的中點．
（I）求證：直線AB與OM斜率的乘積等于e²-1（e為橢圓的離心率）；
（II）若2|

OM

|=|

AB

|且e∈(0，

2

2

)時，求a的取值范圍．