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4．分類討論法 [例8]已知三個集合A={x∣x2-3x+2=0}.B={x∣x2-ax+a=1}.C={x∣x2-bx+2=0}．試問同時滿足BA且C?A的實數a和b是否存在?若存在.求出a.b的所有值,若不存在.請說明理由． [分析]先化簡集合A.B及C.然后運用條件BA且C?A探求a與b的值或說明其不存在． [解]由 x2-3x+2=0.解得 x=1或x=2.于是A={1.2}．由x2-ax+a=1.解得 x=1或x=a -1．于是. 當a=2時.B={1},當a≠2時.B={1.a-1}．先求實數a的可能取值: 當a=2.即B={1}時.不滿足BA.故a≠2, 當B={1.a-1}.即a≠2時.由BA.得a-1≠2.于是a≠3．其次求實數b的可能取值: 對于方程x2-bx+2=0.其判別式 ⊿=b2-8．當⊿<0.即時.方程x2-bx+2=0無解.C=.顯然滿足題設, 當⊿=0.即b= 時.方程x2-bx+2=0的解為x=.C＝{}.即C={}(當b=)或C={}(當b=).此時.不能滿足C?A.故b≠, 當⊿>0.即或時.方程x2-bx+2=0有兩個不等實數根..于是C={.}．若C?A.則必有1∈C或2∈C．但·=2.故.均不能為1或2.從而此種情形下無解．故滿足條件的實數a與b均存在.且a∈R.a≠2.3.． [點悟]①解題關鍵點是弄清每一個集合中的元素.理清集合間的關系.正確合理使用題中所給信息.對問題所及方面進行正確的分類． ②解題技巧是對集合A.B與C的化簡及對集合A與B的分別求解． ③解題易錯點是忽視對集合元素的互異性的檢驗.遺漏空集是任何非空集合的真子集的情形.忽視對集合B的元素個數是一個還是兩個的討論． [例9]設集合A={x∣x2+px+1=0}.B={ x∣x >0}.當A∩B=.求實數p的取值范圍． [分析]利用根的判別式與0的大小關系分A為空集和非空集的情況討論求解． [解]因 A∩B=.故 A=或A中的元素只有非正數．若A=.則⊿=p2-4<0.解得 -2< p<2, 若A中的元素只有非正數.則 ⊿≥0且= -p≤0..解得 p≥2．于是實數p的取值范圍為p>-2． [點悟]①解題關鍵點是將集合語言準確地翻譯成文字語言.即轉換成一種更為直觀淺顯的條件． ②解題規律是對于含有參數的一元二次方程根的情況可使用判別式法進行討論求之． ③解題易錯點是忽視A=的情況.引起失解.縮小p的取值范圍． [例10]已知集合P=． (1)若P中只有一個元素.試求a的值.并把這個元素寫出來, (2)若P中至多只有一個元素.試求a的取值范圍． [分析]x2前的系數為a.它在變化.故須對a進行討論:它可能是一元一次方程.也可能是一元二次方程,它可能有實數根.也可能無實數根． [解]集合P表示方程在實數范圍內的解的集合． (1)當時.⊿=.a =4.方程有兩個相等的實數根.P中只有一個元素,當a=0時.方程為一元一次方程.方程只有唯一解．故當P中只有一個元素時.a=4或0．當a=4時.元素為,當a=0時.元素為． (2)P中至多只有一個元素.包含P為空集和P中只有一個元素兩種情形．當P為空集時.由及⊿=解得a>4.從而a的取值范圍為或a=0． [點悟]①解題關鍵點是正確審題.搞清“只有一個與“至多只有一個的真正含義并注意它們的區別.注意參數a所在的位置(這里的a在二次項系數前.因而方程未必為二次的)對解題的影響． ②解題規律是根的判別式⊿只適用于實系數一元二次方程根的討論． ③解題易錯點是混淆“空集是不含任何元素的集合的概念.從而遺漏對空集情況的檢驗討論,另一方面容易忽視對方程次數即a=0的情況的討論．【查看更多】

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