題目列表(包括答案和解析)
已知
是等差數列，其前n項和為Sn，
是等比數列，且
，
.
（Ⅰ）求數列與的通項公式；
（Ⅱ）記
，
，證明
（）.
【解析】（1）設等差數列
的公差為d，等比數列
的公比為q.
由
，得
，
，
.
由條件，得方程組
，解得
所以
，
，
.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：數學歸納法）
① 當n=1時，
，
，故等式成立.
② 假設當n=k時等式成立，即
，則當n=k+1時，有：
即
，因此n=k+1時等式也成立
由①和②，可知對任意，成立.
已知遞增等差數列
滿足：
，且
成等比數列．
（1）求數列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當
時，
；當
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當時，；當時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數學歸納法．
當時，
，成立．
假設當
時，不等式
成立，
當
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調性證明．
要證
只要證 
，
設數列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數列為單調遞減數列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
|
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
