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設函數f（x）=px-

q

x

-2lnx，且f（e）=pe-

q

e

-2，（其中e=2.1828…是自然對數的底數）．
（1）求p與q的關系；
（2）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（3）設g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上存在實數x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數p的取值范圍．

設函數f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[

1

e

-1，e-1]時，是否存在整數m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整數m的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）關于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數a的取值范圍．

設函數f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=

2e

x

（p是實數，e為自然對數的底數）
（1）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范圍．

設函數f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它們的圖象在x=1處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數F（x）=f（x）-m•g（x）在區間[

1

2

，3]上是單調減函數，求實數m的取值范圍．

設函數f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數f′（x）=

1

x

，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關系；
（Ⅲ）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在請說明理由．