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已知函數f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b為常數．
（1）若函數f（x）在x=1處有極值10，求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）是奇函數，
①方程f（x）=2在x∈[-2，4]上恰有3個不相等的實數解，求實數b的取值范圍；
②不等式f（x）+2b≥0對?x∈[1，4]恒成立，求實數b的取值范圍．

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求證：函數f（x）的導函數f′（x）在（-2，0）上是單調函數；
（2）設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），若直線AB的斜率不小于-2，求實數a的取值范圍．

已知函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）當a=-

10

3

時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

已知函數f(x)=lnx-

1

2

ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的極值；
（Ⅱ）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數圖象上存在點M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂）），使得點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴隨切線”．特別地，當x0=

x1+x2

2

時，又稱AB存在“中值伴隨切線”．試問：在函數f（x）的圖象上是否存在兩點A、B使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由．

已知函數f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f(x)=-

5

2

x+b在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．