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如圖：已知線段AB=4，動(dòng)圓O₁與線段AB相切于點(diǎn)C，且AC-BC=2

2

，過點(diǎn)A，B分別作⊙O₁的切線，兩切線相交于點(diǎn)P，且P、O₁均在AB的同側(cè)．
（Ⅰ）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，當(dāng)O₁位置變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B作直線交曲線E于點(diǎn)M、N，求△AMN面積的最小值．

如圖：已知線段AB=4，動(dòng)圓O₁與線段AB相切于點(diǎn)C，且AC-BC=2

2

，過點(diǎn)A，B分別作⊙O₁的切線，兩切線相交于點(diǎn)P，且P、O₁均在AB的同側(cè)．
（Ⅰ）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，當(dāng)O₁位置變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B作直線交曲線E于點(diǎn)M、N，求△AMN面積的最小值．

已知圓柱OO₁底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線Γ如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸OO₁逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜π）后，邊B₁C₁與曲線Γ相交于點(diǎn)P．
（1）求曲線Γ長度；
（2）當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，求點(diǎn)C₁到平面APB的距離；
（3）是否存在θ，使得二面角D-AB-P的大小為

π

4

？若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．