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1.設函數f(x)在x=x₀處可導,則(   )

A.與x₀、h都有關

B.僅與x₀有關，而與h無關

C.僅與h有關,而與x₀無關

D.與x₀、h均無關

解析 本題考查導數的定義.在導數的定義式中,自變量增量可正、可負,但不為0.導數是一個局部概念,它只與函數在某一點及其附近的函數值有關,與自變量增量無關.

答案 B

2.曲線y=f(x)在點(0,0)處的導數的值是-1,則過該點的切線一定(   )

A.平行于Ox軸

B.平行于Oy軸

C.平分第一、三象限

D.平分第二、四象限

分析 本題考查曲線的切線.曲線在某點處的導數,即為該點處切線的斜率.

解 因為f(x)在點(0,0)處的導數等于-1,即切線的斜率為-1.

根據直線的點斜式方程,可得y-0=-1×(x-0),即y=-x.故它平分第二、四象限.

答案 D

3.物體自由落體運動方程為s=s(t)=gt²,g=9.8 m/s²,若v=,那么說法正確的是(   )

A.9.8 m/s是在0~1 s這段時間內的速率

B.9.8 m/s是從1 s到(1+Δt) s這段時間內的速率

C.9.8 m/s是物體在t=1 s這一時刻的速率

D.9.8 m/s是物體從1 s到(1+Δt) s這段時間內的平均速率

分析 本題考查導數的物理意義.s(t)在某一時刻的導數為在這一時刻的瞬時速度.

解 s′=

∴s′|_t=1=g×1=g=9.8(m/s).

答案 C

4.設在［0,1］上函數f(x)的圖象是連續的,且f′(x)>0,則下列關系一定成立的是（   ）

A.f(0)<0          B.f(1)>0            C.f(1)>f(0)           D.f(1)<f(0)

分析 本題主要考查利用函數的導數來研究函數的性質.

解 因為f′(x)>0,所以函數f(x)在區間［0,1］上是增函數.又函數f(x)的圖象是連續的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)與0的大小是不確定的.

答案 C

5.設f′(x)是函數f(x)的導函數,y=f′(x)的圖象如右圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能是（   ）

分析 本題主要考查函數的導數與圖象結合處理問題.要求對導數的含義有深刻理解、應用的能力.

解 函數的增減性由導數的符號反映出來.由導函數的圖象可大略知道函數的圖象.由導函數圖象知:函數在(-∞,0)上遞增,在(0,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增;函數f(x)在x=0處取得極大值,在x=2處取得極小值.

答案 C

6.一點沿直線運動,若由始點起經過ts后的路程是s=t²+,則速度為0的時刻為       

s末.(    )

A.0          B.2           C.3           D.1

分析 本題主要考查導數的物理意義,即位移對時間的導數是瞬時速度.

解 s′=t-,令s′=t-=0,得t=1.

答案 D

7.曲線y=x³-3x上切線平行于x軸的點為(    )

A.(0,0),(1,3)              B.(-1,2),(1,-2)

C.(-1,-2),(1,2)            D.(-1,3),(1,3)

分析 本題主要考查導數的應用.根據與x軸平行的直線的斜率為零,構造方程f′(x)=0解得x的值,進一步求出交點的坐標即可.

解 y′=3x²-3,令3x²-3=0,得x=±1.

代入曲線方程得

答案 B

8.函數y=x³+在（0，+∞)上的最小值為（   ）

A.4         B.5          C.3        D.1

分析 本題主要考查應用導數求函數的最值.

解 y′=3x²-,令y′=3x²-=0,即x²-=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在（0,+∞)上，由于只有一個極小值，所以它也是最小值，從而函數在（0，+∞)上的最小值為y=f(1)=4.

答案 A

9.函數y=xlnx在區間（0，1）上是（   ）

A.單調增函數

B.單調減函數

C.在（0，)上是減函數，在（,1)上是增函數

D.在（0，)上是增函數，在（,1)上是減函數

分析 本題主要考查利用求導方法判定函數在給定區間上的單調性?

解 y′=lnx+1,當y′>0時，解得x>.

又x∈(0,1),

∴<x<1時，函數y=xlnx為單調增函數.同理，由y′<0且x∈(0,1),得0<x<,此時函數y=xlnx為單調減函數.故應選C.

答案 C

10.若函數y=x³-3bx+3b在（0，1）內有極小值，則（  ）

A.0<b<1                B.b<1

C.b>0                  D.b<

分析 本題主要考查應用導數解決有關極值與參數的范圍問題.

解 對于可導函數而言，極值點是導數為零的點.

∵函數在（0，1）內有極小值，∴極值點在（0，1）上.

令y′=3x²-3b=0,得x²=b,顯然b>0,

∴x=±.又∵x∈(0,1),

∴0<<1.∴0<b<1.

答案A

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.函數y=e^x2的導數是       .

分析 本題主要考查指數函數以及復合函數的導數.

解 設y=e^μ,μ=x²,

則y_x′=y_μ′?μ_x′=(e^u)′?(x²)′=e^μ?2x=2xe^x2.

答案 2xe^x2.

12.有一長為16 m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是         m².

分析 本題考查如何求函數的最值問題，其關鍵是建立目標函數?

解 設場地的長為x m，則寬為(8-x) m,有S=x(8-x)=-x²+8x,x∈(0,8).

令S′=-2x+8=0,得x=4.

∵S在(0,8)上只有一個極值點,

∴它必是最值點,即S_max=16.

此題也可用配方法、均值不等式法求最值.

答案 16

13.★過原點作曲線y=2^x的切線,則切點的坐標為        ,切線的斜率為　　　　　.

分析 本題考查指數函數的導數及導數的幾何意義.

解 ∵y=2^x,∴y′=2^xln2.

設切點坐標為(x₀,),則過該切點的直線的斜率為ln2,直線的方程為y-=ln2(x-x₀).

∵直線過原點,∴0-=ln2(0-x₀).

∴=x₀?ln2.∴x₀=log₂e,

即切點坐標為(log₂e,e),斜率為eln2.

答案 (log₂e,e)    eln2.

14.設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x<0時,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是        .

分析 本題主要考查導數的運算法則及函數的性質.利用f(x)g(x)構造一個新函數φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性質解決問題.

解 設φ(x)=f(x)g(x),則φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.

∴φ(x)在(-∞,0)上是增函數且φ(-3)=0.

又∵f(x)為奇函數,g(x)為偶函數,

∴φ(x)=f(x)g(x)為奇函數.

∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函數且φ(3)=0.

當x<-3時,φ(x)<φ(-3)=0,即f(x)g(x)<0;

當-3<x<0時,φ(x)>φ(-3)=0,即f(x)g(x)>0.

同理,當0<x<3時,f(x)g(x)<0;

當x>3時,f(x)g(x)>0.

∴f(x)g(x)<0的解集為(-∞,-3)∪(0,3).

答案 (-∞,-3)∪(0,3)

15.(本小題滿分8分)過曲線y=x-e^x上某點的切線平行于x軸,求這點的坐標及切線方程.

分析 利用導數的幾何意義,先求切點,再求切線的方程.

解∵y′=1-e^x,                          2分

又切線與x軸平行,∴切線的斜率k=0.     3分

∴令y′=1-e^x=0,得x=0.                 5分

∴切點坐標為(0,-1).                    6分

∴切線方程為y=-1.                    8分

16.★(本小題滿分8分)已知導函數f′(x)的下列信息:

當1<x<4時,f′(x)>0;

當x>4或x<1時,f′(x)<0;

當x=4或x=1時,f′(x)=0.

試畫出函數f(x)圖象的大致形狀.

分析 本題考查函數的單調性、極值與導函數的關系.

解 當1<x<4時,f′(x)>0,可知f(x)在此區間內單調遞增;           2分

當x>4或x<1時,f′(x)<0,可知f(x)在這兩個區間內單調遞減;      4分

當x=4或x=1時,f′(x)=0,是兩個極值點.                       6分

綜上,函數f(x)的圖象的大致形狀如下圖所示(注:圖象不唯一,只要符合題設條件即可).

       8分

17.(本小題滿分8分)設f(x)在x=1處連續,且求f′(1).

分析 本題考查抽象函數在某點處的導數.根據f(x)在某點連續的定義及導數的定義求解.

解 ∵f(x)在x=1處連續,∴f(x)=f(1).    2分

又f(x)=［(x-1)?］

=(x-1)?=0?2=0.

∴f(1)=0.                              5分

根據導數的定義，得

f′(1)=    8分

18.(本小題滿分10分)設y=f(x)是二次函數,方程f(x)=0有兩個相等的實根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表達式.

分析 本題主要考查導數運算的逆運用.利用待定系數法設函數解析式,代入條件求解.

解 設f(x)=ax²+bx+c(a≠0),      2分

∴f′(x)=2ax+b.               3分

由條件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.

∴f(x)=x²+2x+c.               5分

∵方程f(x)=0有兩個相等實根,

∴Δ=4-4c=0,即c=1.           8分

∴函數解析式為f(x)=x²+2x+1.   10分

19.(本小題滿分10分)如右圖,已知曲線C₁:y=x³(x≥0)與曲線C₂:y=-2x³+3x(x≥0)交于點O、A,直線x=t(0<t<1)與曲線C₁、C₂分別相交于點B、D.

(1)寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系S=f(t);

(2)討論f(t)的單調性,并求f(t)的最大值.

分析 本題主要考查如何以四邊形的面積為載體構造目標函數、函數的導數、函數的單調性等基礎知識,考查運算能力和利用導數研究函數的單調性,從而確定函數的最值.

解 (1)解方程組

得交點O、A的坐標分別為(0,0)、(1,1).         2分

f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|?|1-0|=|BD|=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0<t<1).                       4分

(2)f′(t)=-t²+.                           6分

令f′(t)=-t²+=0,得t=,t=-(舍去).

當0<t<時,f′(t)>0,從而f(t)在區間(0,)上是增函數;     8分

當<t<1時,f′(t)<0,從而f(t)在區間(,1)上是減函數.

所以當時,f(t)有最大值f()=.               10分