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1.★設ξ是離散型隨機變量,則下列不能夠成為ξ的概率分布的一組數是(  )

A.0,0,0,1,0

B.0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,1-p(其中p是實數)

D. (其中n是正整數)

分析 題主要考查任一離散型隨機變量的分布列所具有的兩個性質：

(1)P_i≥0,i=1,2,3,…;

(2)P₁+P₂+…=1.

解 對于A,由于0+0+0+1+0=1,且每個數都大于或等于0,所以這組數可以作為ξ的一種概率分布；

對于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每個數都大于0,所以這組數可以作為ξ的一種概率分布；

對于C,雖然p+1-p=1,但是不能保證對任意實數p和1-p都是非負數(比如取p=-1),所以這組數不能夠作為ξ的概率分布；

對于D,由于

且每個數都是非負數,所以這組數也可作為ξ的一種概率分布.

答案 C

2.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某數的頻數和頻率分別為40，0.125，則n的值為（   ）

A.640              B.320                C.240                  D.160

分析 本題考查隨機抽樣的概率，即從個體為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，每一個體被抽到的概率都是

解 由題意，得=0.125.∴n=320.

答案 B

3.某牧場的10頭牛因誤食瘋牛病毒污染的飼料被感染,已知瘋牛病發病的概率為0.02.若發病的牛數為ξ,則Dξ等于(   )

A.0.2               B.0.196               C.0.8                 D.0.812

分析 本題考查隨機變量ξ服從二項分布的方差,即Dξ=npq(其中q=1-p).

解 由題意可知,發病的牛數ξ服從二項分布,

即Dξ=npq=10×0.02×(1-0.02)=0.196.

答案 B

4.★利用隨機抽樣從含有12個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，設個體a被抽到的概率為P₁,個體a沒有在第二次被抽到的概率為P₂,則P₁與P₂的大小關系是（   ）

A.P₁＞P₂           B.P₁=P₂              C.P₁＜P₂              D.不確定

解析 由簡單隨機抽樣的定義可知，個體a被抽到的概率是P₁==.

由等可能性事件的概率可知，個體a第二次未被抽到的概率是

P₂=.

∴P₁＞P₂.

答案 A

5.某處有供水龍頭5個,調查表明每個水龍頭被打開的可能性為,隨機變量ξ表示同時被打開的水龍頭的個數,則P(ξ=3)為(     )

A.0.008 1           B.0.072 9              C.0.052 5              D.0.009 2

分析 本題考查n次獨立重復試驗中,恰好發生k次的概率.

解 對5個水龍頭的處理可視為做5次試驗,每次試驗有2種可能結果：打開或未打開,相應的概率為0.1或1-0.1=0.9.

根據題意ξ~B(5,0.1),從而P(ξ=3)=(0.1)³(0.9)²=0.008 1.

答案 A

6.★某人從湖中打了一網魚,共m條,做上記號,再放入湖中,數日后又打了一網魚,共n條,其中k條有記號,估計湖中有魚         條.(     )

A.               B.m?               C.m?              D.無法估計

分析 本題考查用樣本的頻率分布估計總體的分布.

解 設估計湖中有x條魚.

由題意可知=,所以x=,

即估計湖中有條魚.

ξ

0

1

2

3

P

a

b

答案 B

 7.已知某離散型隨機變量ξ的數學期望Eξ=,ξ的分布列如下:

則a的值為 (    )

A.0              B.             C.                D.

解析 由題意可知

解得a=.

答案 C

8.統計某校400名學生的數學會考成績,得到樣本頻率分布直方圖如右圖,規定不低于60分為及格,不低于80分為優秀,則及格率和優秀生人數分別是(    )

A.20%,380                  B.80%,380

C.30%,270                  D.80%,80

解析 及格率為(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8=80%;

優秀生人數為400(0.01+0.01)×10=80.

答案 D

9.袋中裝有5只同樣大小的白球,編號為1,2,3,4,5.現從該袋內隨機取出3只球,被取出的球的最大號碼數為ξ,則Eξ等于(   )

A.4             B.5             C.4.5             D.4.75

分析 本題考查離散型隨機變量ξ的數學期望.解題關鍵是找到ξ_i與P_i的對應值.

解 由題意,知ξ取3,4,5.它取每一個值的概率都符合等可能事件的概率公式,即

P(ξ=3)==,

P(ξ=4)==,

P(ξ=5)==,

∴Eξ=3×+4×+5×=4.5.

答案 C

10.從2 004名學生中選取50名組成參觀團,若采用下面的方法選取:先用簡單隨機抽樣從2 004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系統抽樣方法進行,則每人入選的概率 (   )

A.不全相等                             B.均不相等

C.都相等,且為                      D.都相等,且為

分析 本題考查抽樣過程中每個個體被抽取的概率問題.

解 從2 004名學生總體中剔除4個個體,每名學生不被剔除的概率是,對于留在總體中的2 000個個體,按系統抽樣時,每個個體被抽取的概率是,由概率乘法公式可知每個個體被抽取的概率p=×==.

答案 C

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.★已知盒中有3只螺口與7只卡口燈泡,這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著,現需用一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則他直到第3次才取得卡口燈泡的概率為             .

分析 本題考查無放回地抽取個體時,每個個體被抽取的概率問題.搞清使用的概率模型是解題的關鍵.

解 設無放回地直到第3次取出卡口燈泡記為事件A,則P(A)=××=.

答案

12.一個總體中有100個個體,隨機編號為0,1,2,…,99,依編號順序平均分成10個小組,組號依次為1,2,…,10.現用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本,規定如果在第1組隨機抽取的號碼為m,那么在k組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同.若m=6,則在第7組中抽取的號碼是             .

分析 本小題主要考查系統抽樣的概念與方法.

解 由題設知,若m=6,則在第7組中抽取的號碼個位數字與13的個位數字相同,而第7組中數字編號順次為60,61,62,63,…,69,故在第7組中抽取的號碼是63.

答案 63

13.某街頭小攤,在不下雨的日子可賺到100元,在下雨天則要損失10元.若該地區每年下雨的日子約為130天,則此小攤每天獲利的期望值是                (每年按365天計算).

分析 本題考查離散型隨機變量ξ的數學期望在實際生活中的應用.

解 由題意可知變量ξ的取值分別為-10,100.

∵ξ=-10的概率P(ξ=-10)=,

ξ=100的概率P(ξ=100)=,

∴Eξ=-10×+100×≈60.82.

答案 60.82

14.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如下圖所示，則時速在［50，60）的汽車大約有          輛.

解析 由公式頻率=可知，時速在［50,60)的汽車的輛數，即它的頻數為200×0.3=60.

答案 60

15．(本小題滿分8分)100件產品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次,求取得不合格品件數x的分布列.

解 x可能取的值為0,1,2,3.由于是有放回地每次取一件,連續取三次,所以這相當于做3次獨立重復試驗,一次抽取到不合格品的概率p=0.03.           2分

因此P(x=0)=?0.03⁰?(1-0.03)³=0.912 673,

P(x=1)=?0.03¹?(1-0.03)2=0.084 681,

P(x=2)=?0.03²?(1-0.03)¹=0.002 619,

P(x=3)=?0.03³?(1-0.03)⁰=0.000 027.          6分

分布列為

x

0

1

2

3

P

0.912 673

0.084 681

0.002 619

0.000 027

8分

16.(本小題滿分8分)有同一型號的汽車100輛.為了了解這種汽車每耗油1 L所行路程的情況,現從中隨機抽出10輛在同一條件下進行耗油1 L所行路程試驗,得到如下樣本數據(單位:km):13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4.

(1)根據所給分組情況,完成頻率分布表;

分組

頻數

頻率

［12.45,12.95）

［12.95,13.45）

［13.45,13.95）

［13.95,14.45）

合計

10

1.0

(2)根據上表,在給定坐標系中畫出頻率分布直方圖,并根據樣本估計總體數據落在區間［12.95,13.95）的概率為             ;

(3)根據樣本,對總體進行估計.

解(1)頻率分布表:

分組

頻數

頻率

［12.45,12.95）

2

0.2

［12.95,13.45）

3

0.3

［13.45,13.95）

4

0.4

［13.95,14.45）

1

0.1

合計

10

1.0

3分

(2)頻率分布直方圖:

估計總體數據落在區間［12.95,13.95）的概率為0.7.          6分

(3)

因此,對總體的期望值進行估計約為13.4.               8分

17.★(本小題滿分8分)某企業招聘250人,按成績從高分到低分依次錄取.結果有1 000人參加了考試.小王也參加了考試,他聽說90分以上就有36人,60分以下有115人,他考了76分,判斷小王能否被錄取.

分析 不妨假設考試成績成正態分布.利用正態分布性質建立正態分布模型解題.

解 按此次考試成績ξ服從正態分布來考慮,

即90分以上的人數比為=0.036.

F(90)=1-0.036=0.964,F(60)==0.115.      2分

∴Φ()=0.964且Φ()=1-Φ()=0.115.

查表得.解得           6分

方法一:設錄取最低分為t,則F(t)=Φ()=0.75.

查表得=0.67,t=78.7(分),

故最低分為79分.

方法二:小王得分為76分,則Φ()=0.655.

小王的名次是1 000×(1-0.655)=345(名).

故小王不能被錄取.       8分

18.★(本小題滿分10分)在一次抗洪搶險中,準備用射擊的方法引爆從上游漂流而下的一個巨大的汽油罐.已知只有5發子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨立的,且命中的概率都是.

(1)求汽油罐被引爆的概率;

(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設射擊次數為ξ,求ξ的分布列及Eξ(要求:結果用分數表示).

分析 本題考查離散型隨機變量的分布列及數學期望以及利用概率知識解決問題的能力.

解 (1)命中的概率是,則未命中的概率是.汽油罐未引爆,即是5發子彈只命中1次或5次均未命中,則所求概率為

P=1-??()⁴-()⁵=.      4分

(2)P(ξ=2)=()²=;

P(ξ=3)=? ()²=;

P(ξ=4)=()²()²=;

P(ξ=5)=()³()²=.         7分

則ξ的分布列為

ξ

2

3

4

5

P

8分

Eξ=2×+3×+4×+5×=.           10分

19.★(本小題滿分10分)若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設計的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(單位：cm),則該地公共汽車門的高度應設計為多高？(下列數據供計算時使用:Φ(2.33)≈0.99,Φ(2.06)≈0.98)

分析 本題考查正態分布在現實生活中的應用.它是一道已知正態分布函數的值域,而求其自變量范圍的題目.解題的關鍵是找出正確的函數表達式,運用標準正態分布表,求變量的范圍.

解 設該地公共汽車門的高度應設計為x cm,

則根據題意可知P(ξ≥x)＜1%.        3分

∵ξ~N(175,6²),∴P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ()＜0.01.     6分

化簡,得Φ()＞0.99,

查表可知＞2.33,解得x＞188.98,              9分

即該地公共汽車門至少應設計為189 cm高.            10分