金華一中2008學年第一學期期中考試
高三數學試題（理科）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，每小題給出四個選項，只有一項是符合題目要求的）
1． 命題：“若
，則
”的逆否命題是
（ ）
A．若
，則
B．若，則
C．若
，則
D．若，則
2． 已知圓
及直線
當直線
被C截得的弦長為
時，則
=
( )
A． 
B． 
C． 
D． 
3． 如果
為各項都大于零的等差數列，公差
≠0,則
( )
A． 
> 
B． < C．
D．
=
4． 不等式 
的解集不可能是
( )
A． 
B． 
C． 
D． 
5．“=
在區間[1, +∞)上為增函數”的
( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6． 函數
的最小正周期
（ ）
A． 2π B． π
C． 
D． 
7． 函數
的一個單調遞減區間是
( )
A． 
B．
C．
D． 
8． 方程
表示焦點在y軸上的橢圓 ，則
的整數值的個數為 ( )
A． 1
B．
C． 
D．
9． 已知
是橢圓的兩個焦點．滿足
?
＝0的點
總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍
（ ）
A．(0，1) B．(0，
] C．(0，
) D．[，1)
10． 已知實系數一元二次方程
的兩個實根為
、
,并且
,則
的取值范圍是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題（本大題共７小題，每小題４分，共２８分）
11． 若集合
, 則
；
12． 向量
，則
最大值為 ；
13． 將函數
的圖象向右平移
個單位,所得圖象關于y軸對稱,則
的最小正值是 ；
14． 若奇函數
關于
對稱
,則最小正周期為 ；
15． 與雙曲線
有公共漸近線，且過點M(2,-2)的雙曲線的方程
；
16． 數列
滿足:
, 
則
；
17．已知函數f(x)=
，有三個數a，b，c滿足|a|<1，|b|<1，|c|<1，且
=2007，
=2008，那么
的值是
.
金華一中2008學年第一學期期中考試
高三數學答題卷（理科）
題號
１
２
３
４
５
６
７
８
９
10
答案
二．填空題
11． 12． 13．
14． 15． 16．
17．
三、解答題（本大題共5小題，共72分）
18．（本小題滿分14分）已知銳角△
中，角
的對邊分別為
，且
=
（1）求
； （2）求
．
19．（本小題滿分14分）已知圓C的方程
和點
，過動點
作圓的切線PB（B為切點）且
，（1）求動點P軌跡L的方程； （2）若動點Q，D分別在軌跡L和圓C上運動，且三角形APQ面積
，求三角形DPQ面積
的最小值.
20．（本小題滿分14分）已知函數
（
是自然數）是奇函數，有最大值
，且
．（1）試求函數的解析式；（2）是否存在直線與
的圖象只交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點的中點為（1，0）點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
21．（本小題滿分15分）數列
（1）是否存在非零常數
，使數列
成等比數列，并證明；（2）求數列的通項
；（3）求證：
.
22．（本小題滿分15分）
平面上一點向二次曲線作切線得兩切點，連結兩切點的線段我們稱切點弦．設過拋物線
外一點
的任一直線與拋物線的兩個交點為C、D，與拋物線切點弦AB的交點為Q。
（1）求證：拋物線切點弦的方程為
；
（2）求證：
.
金華一中2008學年第一學期期中考試
高三數學答案（理科）
題號
１
２
３
４
５
６
７
８
９
10
答案
D
C
B
D
A
B
A
B
C
C
二．填空題
11．
；
12． 0.5；
13．
； 14．
15．
； 16．
； 17．
；
三．解答題．
18：(1) 
7分
(2) 
7分
１９： (1) （1）
（2）
（1）－（2）得 
7分
(2) 點 ， 圓心C（3,4）到直線的距離分別是
7分
２０．解：⑴由為奇函數易知：
．
又因為
是自然數，所以，當
時，
；當
時，
．
所以，的最大值必在時取得．
當時，
，等號當且僅當
時取得．
所以，
．
又，所以，
．結合是自然數，可得：
．
所以，
． 7分
⑵對于“是否存在型”的問題，一般探索的方法為：假設存在，導出矛盾，或者從部分結論出發，導出其存在的必要條件，再驗證是否充分．
根據上述思路，我們可以假設存在滿足條件的直線，則、Q的坐標可為P
，
．且這兩點都在函數的圖像上．即：
消去
，得
，解得：
．
所以，
或
．
所以，直線的方程為：
．
的存在性還須通過充分性的檢驗．
把直線的方程與函數
聯立，不難求得，共有三組解：
．
因此，直線與的圖象共有三個交點，與“只交于兩點”矛盾．所以，滿足條件的直線不存在． 7分
在得到這樣的解答之后，我們不妨回頭再看一看，在上述過程中，函數的性質（如奇偶性）并沒有得到充分的應用．若能充分運用這個已知條件，則可以得到其他不同的探索過程．
法2：設
，則由
為奇函數可知：P關于原點的對稱點
也在
的圖像上，又
，所以，
，且
，故問題等價于：
是否存在直線
，使得
與
有兩個距離為2的交點．
將代入
，解之得：
，令
，解得：
，
，
所以，
，此時直線的方程為
充分性的檢驗過程同上．
以上兩種解法都是從求出直線的方程入手．如果我們將著眼點放在“只交于兩點”，則可以得到下面簡潔的解法．
法3：當直線的斜率不存在時，
，此時與函數的圖像只交于一點，不滿足題設，所以，可設直線
的方程為：
，
與聯立，消去
得：
（*）
由P、Q關于點（1，0）對稱，可得：點（1，0）在直線上，所以，
．
對于上述方程（*），若
，則方程只有一解，不符合題意．
若
，則方程（*）的實根個數可能為1個或3個．不可能有兩個．即過點（1，0）的直線與的圖象不可能只有兩個交點，所以，這樣的直線不存在．
２１．（1） 
解得
5分
（2）
5分
．
(3) 由于
5分
２２．證：（1）略 7分
（2）為簡化運算，設拋物線方程為
，點
的坐標分別為
，點
，直線
，
一方面。要證
化斜為直后
只須證：
由于 
另一方面，由于所以切點弦方程為：
所以 
從而
即 8分
22.（1）（2）.
(3) 由于
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