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2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川）韓先華編輯

數(shù)　　學(xué)（文史類）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)。第Ⅱ卷3到8頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。

3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                                 球是表面積公式

                         

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么                          其中R表示球的半徑

                        球的體積公式

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么                 

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率              其中R表示球的半徑

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

試題詳情

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。

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二、填空題答題卡：

試題詳情

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)。第Ⅱ卷3到10頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。

3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                           球是表面積公式

                         

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么                           其中R表示球的半徑

                        球的體積公式

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么                 

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率              其中R表示球的半徑

一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

A

D

A

B

D

B

C

D

B

A

C

（1）已知集合，集合，則集合

（A）                   （B） 

（C）                   （D）

（2）函數(shù)的反函數(shù)是

（A）          （B） 

（C）          （D） 

（3）曲線在點(diǎn)處的切線方程是

（A）                      （B） 

（C）                       （D）

（4）如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是

（A）                  （B） 

（C）                  （D）

（5）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生

（A）人，人，人                  （B）人，人，人  

（C）人，人，人                  （D）人，人，人  

（6）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是

（A）                  （B） 

（C）                 （D）

(7) 已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為

（A）      （B）     （C）       （D）

(8) 已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于

（A）      （B）     （C）       （D）

(9) 如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一

個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是

（A）      （B）     （C）       （D）

(10) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線

作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為

（A）      （B）     （C）       （D）

（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，則是的

（A）充分條件                     （B）充分而不必要條件

（C）必要而充分條件               （D）既不充分又不必要條件

（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除的概率為

（A）        （B）          （C）         （D）

 

 

第Ⅱ卷

二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。

（13）展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________（用數(shù)字作答）

（14）設(shè)滿足約束條件：，則的最小值為_(kāi)_______________;

（15）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則

________________;

（16）是空間兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：

①            ②

③            ④

其中真命題的編號(hào)是_______①，②_________;（寫出所有真命題的編號(hào)）

 

三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

（17）（本大題滿分12分）

數(shù)列的前項(xiàng)和記為

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求

 

本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得

又 ∴

   故是首項(xiàng)為，公比為得等比數(shù)列

   ∴

（Ⅱ）設(shè)的公比為

由得，可得，可得

故可設(shè)

又

由題意可得

解得

∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴

∴

∴

 

（18）（本大題滿分12分）

已知是三角形三內(nèi)角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求

 

本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴

即

∵

∴

∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去

∴

（19）（本大題滿分12分）

    某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結(jié)果保留三位小數(shù)）

 

本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。

解：記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對(duì)立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，

（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對(duì)立事件

解法1：

            

            

            

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件

  所以，這三人該課程考核都合格的概率為

 

（20）（本大題滿分12分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的

中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

 

本小題主要考察長(zhǎng)方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分

解法一：

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)

      ∵分別為的中點(diǎn)

       ∵

       ∴面，面

        ∴面面

         ∴面

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)

∵為的中點(diǎn)   ∴

∴面

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則

      

∵分別是的中點(diǎn)

∴

（Ⅰ）

      取，顯然面

      ，∴

又面

∴面

∴過(guò)作，交于，取的中點(diǎn)，則

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴

∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（21）（本大題滿分12分）

     已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)

（Ⅰ）對(duì)滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

 

本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）由題意

         令，

對(duì)，恒有，即

∴  即

解得

故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有

（Ⅱ）

①當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，列表：

極大

極小

∴

又∵的值域是，且在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，恒有

由題意得

即

解得

綜上，的取值范圍是

 

（22）（本大題滿分14分）

     已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積

 

本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

且，易知

       故曲線的方程為

   設(shè)，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

       解得

∵

依題意得

整理后得

∴或

但   ∴

故直線的方程為

設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn)

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，

但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為

到的距離為

∴的面積

   

錄入：四川省內(nèi)江市隆昌縣黃家中學(xué)     

程   亮                    

lc_chengliang@163.com              

 

 

 

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

（四川卷）文科數(shù)學(xué)及參考答案

一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

A

D

A

B

D

B

C

D

B

A

C

（1）已知集合=，集合，則集合，選C.

（2）函數(shù)，解得(y∈R)，所以原函數(shù)的反函數(shù)是，選A.

（3）曲線，導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程是，選D.

（4）如圖，已知正六邊形，設(shè)邊長(zhǎng)，則∠=.，,=，∠=，，=，=0，<0，∴ 數(shù)量積中最大的是，選A

（5）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生人，人，人，選B.

（6）從圖象看出，T=，所以函數(shù)的最小正周期為π，函數(shù)應(yīng)為y=向左平移了個(gè)單位，即

=，所以選D.

 (7) 已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.

(8) 已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，

則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選C.

 (9) 如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D.

(10) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選B.

（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若，

則，則，

∴ ，，

又，∴ ，∴ ，，

若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，

所以是的充要條件，選A.

（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除。

所有的三位數(shù)有個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有個(gè)；② 若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無(wú)數(shù)字0，共有個(gè)；③ 若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，有個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，有個(gè)，這樣能被3 整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被整除的數(shù)有420個(gè)，所以概率為=，選C。

第Ⅱ卷

二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。

（13）展開(kāi)式中的項(xiàng)為，的系數(shù)為－960。

（14）設(shè)滿足約束條件：，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域△ABC，其中A(1，)，B(1，8)，C(4，2)，所以的最小值為－6。

（15）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，，同理其余兩對(duì)的和也是，又，∴ =35.

（16）是空間兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：

①,為真命題；②，為ie假命題；

③為假命題； ④為真命題，

所以真命題的編號(hào)是①、④.

三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

（17）（本大題滿分12分）

數(shù)列的前項(xiàng)和記為

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求

 

本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得

又 ∴

   故是首項(xiàng)為，公比為得等比數(shù)列

   ∴

（Ⅱ）設(shè)的公比為

由得，可得，可得

故可設(shè)

又

由題意可得

解得

∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴

∴

∴

 

（18）（本大題滿分12分）

已知是三角形三內(nèi)角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求

 

本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴

即

∵

∴

∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去

∴

（19）（本大題滿分12分）

    某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結(jié)果保留三位小數(shù)）

 

本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分12分。

解：記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對(duì)立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，

（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對(duì)立事件

解法1：

            

            

            

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件

  所以，這三人該課程考核都合格的概率為

 

（20）（本大題滿分12分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的

中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

 

本小題主要考察長(zhǎng)方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分

解法一：

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)

      ∵分別為的中點(diǎn)

       ∵

       ∴面，面

        ∴面面

         ∴面

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)

∵為的中點(diǎn)   ∴

∴面

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則

      

∵分別是的中點(diǎn)

∴

（Ⅰ）

      取，顯然面

      ，∴

又面

∴面

∴過(guò)作，交于，取的中點(diǎn)，則

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴

∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（21）（本大題滿分12分）

     已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)

（Ⅰ）對(duì)滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

 

本小題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力、運(yùn)輸能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）由題意

         令，

對(duì)，恒有，即

∴  即

解得

故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有

（Ⅱ）

①當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，列表：

極大

極小

∴

又∵的值域是，且在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，恒有

由題意得

即

解得

綜上，的取值范圍是

 

（22）（本大題滿分14分）

     已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積

 

本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

且，易知

       故曲線的方程為

   設(shè)，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

       解得

∵

依題意得

整理后得

∴或

但   ∴

故直線的方程為

設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn)

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，

但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為

到的距離為

∴的面積