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請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。

   （13）、設常數，展開式中的系數為，則__________。

   （14）、在中，，M為BC的中點，則_______。（用表示）

A₁

   （16）、多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：

       ①3；     ②4；    ③5；    ④6；    ⑤7

     以上結論正確的為________________________。（寫出所有正確結論的編號）

   （17）、（本大題滿分12分）

已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

（18）、（本大題滿分12分）

在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。

（Ⅰ）寫出的分布列；（以列表的形式給出結論，不必寫計算過程）

（Ⅱ）求的數學期望。（要求寫出計算過程或說明道理）

（19）、（本大題滿分12分）

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。

（Ⅰ）證明⊥；

（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。

（20）、（本大題滿分12分）

已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有

（Ⅰ）證明；

     ，

（Ⅱ）證明                     其中和均為常數；

                          ，

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值。

（21）、（本大題滿分12分）

數列的前項和為，已知

（Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和。

（22）、（本大題滿分14分）

如圖，F為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關系式；

（Ⅱ）當時，經過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。

2006年普通高等學校招生全國統一考試（安徽卷）

理科數學

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

考生注意事項：

1.答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的座位號、姓名，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號、姓名、科類”與本人座位號、姓名、科類是否一致。

2．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。

3．答第Ⅱ卷時，必須用0.5毫米墨水簽字筆在答題卡上書寫。在試題卷上作答無效。

4．考試結束，監考人員將試題卷和答題卡一并收回。

參考公式：

如果時間A、B互斥，那么

如果時間A、B相互獨立，那么

如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率

球的表面積公式，其中R表示球的半徑

球的體積公式，其中R表示球的半徑

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

（1）復數等于（   ）

A．                B．                 C．         D．

解：故選A

（2）設集合，，則等于（   ）

A．               B．     C．            D．

解：，，所以，故選B。

（3）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（   ）

A．               B．     C．            D．

解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D。

（4）設，已知命題；命題，則是成立的（   ）

A．必要不充分條件  B．充分不必要條件C．充分必要條件   D．既不充分也不必要條件

解：命題是命題等號成立的條件，故選B。

（5）函數   的反函數是（   ）

A． B． C．  D．

解：有關分段函數的反函數的求法，選C。

（6）將函數的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應函數的解析式是（   ）

 A．  B．

C．  D．

解：將函數的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應的解析式為，由圖象知，，所以，因此選C。

（7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（   ）

A．   B．  C．    D．

解：與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為，故選A

（8）設，對于函數，下列結論正確的是（   ）

A．有最大值而無最小值  B．有最小值而無最大值

C．有最大值且有最小值 D．既無最大值又無最小值

解：令，則函數的值域為函數的值域，又，所以是一個減函減，故選B。

（9）表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為

 A．               B．     C．            D．

解：此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，故選A。

（10）如果實數滿足條件  ，那么的最大值為（   ）

A．               B．     C．            D．

解：當直線過點(0，-1)時，最大，故選B。

（11）如果的三個內角的余弦值分別等于的三個內角的正弦值，則（   ）

A．和都是銳角三角形      B．和都是鈍角三角形

C．是鈍角三角形，是銳角三角形

D．是銳角三角形，是鈍角三角形

解：的三個內角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形。故選D。

（12）在正方體上任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為（   ）

     A．               B．     C．            D．

解：在正方體上任選3個頂點連成三角形可得個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過此點的一條面對角線)，共有24個，得，所以選C。

2006年普通高等學校招生全國統一考試（安徽卷）理科數學

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

注意事項：

請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。

（13）設常數，展開式中的系數為，則_____。

解：，由，所以，所以為1。

（14）在中，，M為BC的中點，則_______。（用表示）

解：，，所以。

（15）函數對于任意實數滿足條件，若則__________。

A₁

（16）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：

①3；     ②4；    ③5；    ④6；    ⑤7

以上結論正確的為______________。（寫出所有正確結論的編號）

解：如圖，B、D、A₁到平面的距離分別為1、2、4，則D、A₁的中點到平面的距離為3，所以D₁到平面的距離為6；B、A₁的中點到平面的距離為，所以B₁到平面的距離為5；則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A₁的中點到平面的距離為，所以C₁到平面的距離為7；而P為C、C₁、B₁、D₁中的一點，所以選①③④⑤。

（17）（本大題滿分12分）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

解：(Ⅰ)由得，即，又，所以為所求。

（Ⅱ）=

===。

（18）（本大題滿分12分）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。

（Ⅰ）寫出的分布列；（以列表的形式給出結論，不必寫計算過程）

（Ⅱ）求的數學期望。（要求寫出計算過程或說明道理）

解：（Ⅰ）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P

（Ⅱ）

（19）（本大題滿分12分）如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。

（Ⅰ）證明⊥；

（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形，

∵P在平面ABC內的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內的射影；∵O為BF中點，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形 ，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴，，。

過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以為所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

（Ⅱ）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

設平面PAB的法向量為，則，，得，；

設平面PDB的法向量為，則，，得，；

（20）（本大題滿分12分）已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有

（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明 其中和均為常數；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值。

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設時，，則，而，∴，即成立。∴成立。

（Ⅲ）當時，，

令，得；

當時，，∴是單調遞減函數；

當時，，∴是單調遞增函數；

所以當時，函數在內取得極小值，極小值為

（21）（本大題滿分12分）數列的前項和為，已知

（Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和。

解：由得：，即，所以，對成立。

由，，…，相加得：，又，所以，當時，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，

（22）（本大題滿分14分）如圖，F為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關系式；

（Ⅱ）當時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。

解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又，。

（Ⅱ）當時，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，

又，由得：，解得，則，所以為所求。