2006年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
考生注意事項：
1.答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的座位號、姓名，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號、姓名、科類”與本人座位號、姓名、科類是否一致。
2．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3．答第Ⅱ卷時，必須用0.5毫米墨水簽字筆在答題卡上書寫。在試題卷上作答無效。
4．考試結束，監考人員將試題卷和答題卡一并收回。
參考公式：
如果時間A、B互斥，那么
如果時間A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式，其中R表示球的半徑
球的體積公式，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xÎR｝，則MÇN＝（ ）
A．Æ B. {x|x³1} C.｛x|x>1｝ D. {x| x³1或x<0}
2、已知復數z滿足（＋3i）z＝3i，則z＝（ ）
A． B. C. D.
3、若a>0，b>0，則不等式－b<<a等價于（ ）
A．<x<0或0<x< B.－<x< C.x<-或x> D.x<或x>
4、設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若＝－4
則點A的坐標是（ ）
A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)
5、對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）³0，則必有（ ）
A． f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
B． f（0）＋f（2）³2f（1） C. f（0）＋f（2）>2f（1）
6、若不等式x2＋ax＋1³0對于一切xÎ（0，〕成立，則a的取值范圍是（ ）
A．0 B. ?2 C.- D.-3
7、已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則S200＝（ ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
8、在（x－）2006 的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x＝時，S等于（ ）
A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009
9、P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
10、將7個人（含甲、乙）分成三個組，一組3人，另兩組2 人，不同的分組數為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a、p的值分別為（ ）
A． a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=
11、如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）
A. S1<S2
B. S1>S2
C. S1=S2
D. S1，S2的大小關系不能確定
12、某地一年的氣溫Q（t）（單位：ºc）與時間t（月份）之間的關系如圖（1）所示，已知該年的平均氣溫為10ºc，令G（t）表示時間段〔0,t〕的平均氣溫，G（t）與t之間的函數關系用下列圖象表示，則正確的應該是（ ）
理科數學
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
注意事項：
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填寫在答題卡的相應位置。
13、數列｛｝的前n項和為Sn，則Sn＝______________
14、設f（x）＝log3（x＋6）的反函數為f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27
則f（m＋n）＝___________________
15、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值是___________
16、已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，
直線l：y＝kx，下面四個命題：
（A） 對任意實數k與q，直線l和圓M相切；
（B） 對任意實數k與q，直線l和圓M有公共點；
（C） 對任意實數q，必存在實數k，使得直線l與
和圓M相切
（D）對任意實數k，必存在實數q，使得直線l與
和圓M相切
其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17、（本小題滿分12分）
已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值
（1） 求a、b的值與函數f（x）的單調區間
（2） 若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。
18、（本小題滿分12分）
某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規則是：從裝有9個白球，1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出2個紅球可獲得獎金50元，現有甲，乙兩位顧客，規定：甲摸一次，乙摸兩次，令x表示甲，乙摸球后獲得的獎金總額。求：
（1）x的分布列 （2）x的的數學期望
19、（本小題滿分12分）
如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是
邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，
設ÐMGA＝a（）
（1） 試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）
表示為a的函數
（2） 求y＝的最大值與最小值
20、（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形
（1） 求證：AD^BC
（2） 求二面角B－AC－D的大小
（3） 在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。
21、（本大題滿分12分）
如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點
（1） 求點P的軌跡H的方程
（2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q£ ），確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？
22、（本大題滿分14分）
已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝
（1） 求數列｛an｝的通項公式；
（2） 證明：對于一切正整數n，不等式a1?a2?……an<2?n！
2006年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
考生注意事項：
1.答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的座位號、姓名，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號、姓名、科類”與本人座位號、姓名、科類是否一致。
2．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3．答第Ⅱ卷時，必須用0.5毫米墨水簽字筆在答題卡上書寫。在試題卷上作答無效。
4．考試結束，監考人員將試題卷和答題卡一并收回。
參考公式：
如果時間A、B互斥，那么
如果時間A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式，其中R表示球的半徑
球的體積公式，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xÎR｝，則MÇN＝（ C ）
A．Æ B. {x|x³1} C.｛x|x>1｝ D. {x| x³1或x<0}
解：M＝｛x|x>1或x£0｝，N＝｛y|y³1｝故選C
2、已知復數z滿足（＋3i）z＝3i，則z＝（ D ）
A． B. C. D.
解：故選D
3、若a>0，b>0，則不等式－b<<a等價于（ D ）
A．<x<0或0<x< B.－<x< C.x<-或x> D.x<或x>
解：
故選D
4、設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若＝－4
則點A的坐標是（B ）
A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)
解：F（1，0）設A（，y0）則＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由
? ＝－4Þy0＝±2，故選B
5、對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）³0，則必有（ C ）
C． f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
解：依題意，當x³1時，f¢（x）³0，函數f（x）在（1，＋¥）上是增函數；當x<1時，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是減函數，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有
f（0）³f（1），f（2）³f（1），故選C
6、若不等式x2＋ax＋1³0對于一切xÎ（0，）成立，則a的取值范圍是（ C ）
A．0 B. ?2 C.- D.-3
解：設f（x）＝x2＋ax＋1，則對稱軸為x＝
若³，即a£－1時，則f（x）在〔0，〕上是減函數，應有f（）³0Þ
－£x£－1
若£0，即a³0時，則f（x）在〔0，〕上是增函數，應有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，則應有f（）＝恒成立，故－1£a£0
綜上，有－£a故選C
7、已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則S200＝（ A ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
解：依題意，a1＋a200＝1，故選A
8、在（x－）2006 的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x＝時，S等于（B ）
A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009
解：設（x－）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006
則當x＝時，有a0（）2006＋a1（）2005＋…＋a2005（）＋a2006＝0 （1）
當x＝－時，有a0（）2006－a1（）2005＋…－a2005（）＋a2006＝23009 （2）
（1）－（2）有a1（）2005＋…＋a2005（）＝－23009¸2＝－23008
故選B
9、P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（ D ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：設雙曲線的兩個焦點分別是F1（－5，0）與F2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時
|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故選B
10、將7個人（含甲、乙）分成三個組，一組3人，另兩組2 人，不同的分組數為a，甲、乙分到同一組的概率為p，則a、p的值分別為（ A ）
B． a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=
解：a＝＝105
甲、乙分在同一組的方法種數有
（1） 若甲、乙分在3人組，有＝15種
（2） 若甲、乙分在2人組，有＝10種，故共有25種，所以P＝
故選A
11、如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）
A. S1<S2
B. S1>S2
C. S1=S2
D. S1，S2的大小關系不能確定
解：連OA、OB、OC、OD
則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C
12、某地一年的氣溫Q（t）（單位：ºc）與時間t（月份）之間的關系如圖（1）所示，已知該年的平均氣溫為10ºc，令G（t）表示時間段〔0,t〕的平均氣溫，G（t）與t之間的函數關系用下列圖象表示，則正確的應該是（ A ）
解：結合平均數的定義用排除法求解
理科數學
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
注意事項：
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填寫在答題卡的相應位置。
13、數列｛｝的前n項和為Sn，則Sn＝
13、解：
故
14、設f（x）＝log3（x＋6）的反函數為f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27
則f（m＋n）＝___________________
解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕?〔f－1（x）＋6〕＝3m?3n＝3m ＋n＝27
\m＋n＝3\f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2
15、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值是___________
解：連A1B，沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內，如圖所示，
通過計算可得ÐA1C1C＝90°又ÐBC1C＝45°
\ÐA1C1C＝135° 由余弦定理可求得A1C＝
16、已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，
直線l：y＝kx，下面四個命題：
（D） 對任意實數k與q，直線l和圓M相切；
（E） 對任意實數k與q，直線l和圓M有公共點；
（F） 對任意實數q，必存在實數k，使得直線l與
和圓M相切
（D）對任意實數k，必存在實數q，使得直線l與
和圓M相切
其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）
解：圓心坐標為（－cosq，sinq）d＝
故選（B）（D）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17、（本小題滿分12分）
已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1時都取得極值
（3） 求a、b的值與函數f（x）的單調區間
（4） 若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。
17、解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數f（x）的單調區間如下表：
x
（－¥，－）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
極大值
¯
極小值
所以函數f（x）的遞增區間是（－¥，－）與（1，＋¥）
遞減區間是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
18、（本小題滿分12分）
某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規則是：從裝有9個白球，1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出2個紅球可獲得獎金50元，現有甲，乙兩位顧客，規定：甲摸一次，乙摸兩次，令x表示甲，乙摸球后獲得的獎金總額。求：
（1）x的分布列 （2）x的的數學期望
18、解：（1）x的所有可能的取值為0，10，20，50，60
分布列為
x
0
10
20
50
60
P
(2)Ex＝3.3
19、（本小題滿分12分）
如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是
邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，
設ÐMGA＝a（）
（3） 試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）
表示為a的函數
（4） 求y＝的最大值與最小值
19、解：
（1） 因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝，ÐMAG＝，
由正弦定理
得
則S1＝GM?GA?sina＝
同理可求得S2＝
（2） y＝＝
＝72（3＋cot2a）因為，所以當a＝或a＝時，y取得最大值ymax＝240
當a＝時，y取得最小值ymin＝216
20、（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD
是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，
且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形
（4） 求證：AD^BC
（5） 求二面角B－AC－D的大小
（6） 在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD
成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。
20、解法一：
（1） 方法一：作AH^面BCD于H，連DH。
AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1
\AB＝＝BC＝AC \BD^DC
又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BC\AD^BC
方法二：取BC的中點O，連AO、DO
則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD
\BC^AD
（2） 作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝\M是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝
\ÐBMN＝arccos
（3） 設E是所求的點，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，FD＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，則CE＝x＝1
故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角。
解法二：此題也可用空間向量求解，解答略
21、（本大題滿分12分）
如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點
（3） 求點P的軌跡H的方程
（4） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q£ ），確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？
21、解：如圖，（1）設橢圓Q：（a>b>0）
上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設P點坐標為P（x，y），則
1°當AB不垂直x軸時，x1¹x2，
由（1）－（2）得
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）
故所求點P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因為，橢圓 Q右準線l方程是x＝，原點距l
的距離為，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q£）
則＝＝2sin（＋）
當q＝時，上式達到最大值。此時a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1
設橢圓Q：上的點 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積
S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|
設直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0
由韋達定理得y1＋y2＝，y1y2＝，
4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝
令t＝k2＋1³1，得4S2＝，當t＝1，k＝0時取等號。
因此，當直線m繞點F轉到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。
22、（本大題滿分14分）
已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝
（3） 求數列｛an｝的通項公式；
（4） 證明：對于一切正整數n，不等式a1?a2?……an<2?n！
22、解：
（1） 將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為一個等比數列，其首項為
1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n³1）…………1°
（2） 證：據1°得，a1?a2?…an＝
為證a1?a2?……an<2?n！
只要證nÎN*時有>…………2°
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個nÎN*，有
³1－（）…………3°
用數學歸納法證明3°式：
（i） n＝1時，3°式顯然成立，
（ii） 設n＝k時，3°式成立，
即³1－（）
則當n＝k＋1時，
³〔1－（）〕?（）
＝1－（）－＋（）
³1－（＋）即當n＝k＋1時，3°式也成立。
故對一切nÎN*，3°式都成立。
利用3°得，³1－（）＝1－
＝1－>
故2°式成立，從而結論成立。
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