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2006年普通高等學校招生全國統一考試（全國II卷）

數學（文史類）

本試卷分第Ｉ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ｉ卷１至２頁。第Ⅱ卷３至４頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ｉ卷

注意事項：

１．答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。

２．每小題選出答案后，用２Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。

３．本卷共１２小題，每小題５分，共６０分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

參考公式

如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面積公式

如果事件Ａ、Ｂ相互獨立，那么其中表示球的半徑

球的體積公式

如果事件Ａ在一次試驗中發生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半徑

次獨立重復試驗中恰好發生次的概率是

一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

D

C

B

B

B

A

C

D

A

二、填空題

（13）45；（14）；（15）；（16）25

三、解答題

17、解：（1）由

由正弦定理知

（2）

由余弦定理知

（18）解：設的公比為q，由，所以得

……………………………………①

……………………………………②

由①、②式得

整理得

解得

所以 q＝2或q＝－2

將q＝2代入①式得，

所以

將q＝－2代入①式得，

所以

19解：設表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；

表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；

（1）依題意所求的概率為

(2)解法一：所求的概率為

解法二：所求的概率為

20．解法一：

（Ⅰ）設O為AC中點，連接EO，BO，則EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB．     ……2分

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED為異面直線AC₁與BB₁的公垂線．……6分

（Ⅱ）連接A₁E，由AA₁＝AC＝AB可知，A₁ACC₁為正方形，

∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDÌ平面ADC₁知平面

ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足為F，連接A₁F，則A₁F⊥AD，∠A₁FE為二面角A₁－AD－C₁的平面角．

不妨設AA₁＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A₁FE＝，∴∠A₁FE＝60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖，建立直角坐標系O－xyz，其中原點O為AC的中點．

設A(a，0，0)，B(0，b，0)，B₁(0，b，2c)．

則C(－a，0，0)，C₁(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

?＝0，∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a，0，2c)，

?＝0，∴ED⊥AC₁，    ……6分

所以ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線．

（Ⅱ）不妨設A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A₁(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴　　EC⊥面C₁AD．　　……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夾角為60°．

所以二面角A₁－AD－C₁為60°．          ………12分

（21）解：由f（x）為二次函數知

令f（x）＝0解得其兩根為

由此可知

（i）當時，

的充要條件是，即解得

（ii）當時，

的充要條件是，即解得

綜上，使成立的a的取值范圍為

22．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

將①式兩邊平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂   ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

拋物線方程為y＝x²，求導得y′＝x．

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出兩條切線的交點M的坐標為(，)＝(，－1)．   ……4分

所以?＝(，－2)?(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以?為定值，其值為0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝

＝

＝＝＋．

因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且當λ＝1時，S取得最小值4．