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09屆高三數學天天練8

解答題：（文科班只做前四題，理科班全做，每題15分）

1．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若m，n，試求|mn|的最小值．

2．口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，否則算乙贏．（Ⅰ）求甲贏且編號的和為6的事件發生的概率；

（Ⅱ）這種游戲規則公平嗎?試說明理由．

3．直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面BCB₁與平面ACB₁都平行？證明你的結論．

4．已知函數（a＞0，且a≠1），其中為常數．如果 是增函數，且存在零點（為的導函數）．（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數），證明：．

5．已知的展開式中前三項的系數成等差數列．

（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展開式中系數最大的項．      

09屆高三數學天天練8答案

解答題：（文科班只做前四題，理科班全做，每題15分）

1.解：（Ⅰ），………………3分

即，

∴，∴． ………………………5分

∵，∴．……………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．10分

∵，∴，∴．

從而．……………………………12分

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．………13分

所以，|mn|．……………………………………14分

評講建議：

    本題主要考查解三角形和向量的運算等相關知識，要求學生涉及三角形中三角恒等變換時，要從化角或化邊的角度入手，合理運用正弦定理或余弦定理進行化簡變形；在第二小題中，要強調多元問題的消元意識，進而轉化為函數的最值問題，注意定義域的確定對結論的影響，并指明取最值時變量的取值．

2.解：（I）設“甲勝且兩數字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5個．…………2分

又甲、乙二人取出的數字共有5×5＝25（個）等可能的結果， …………4分

所以． ……………………………………………………………6分

答：編號的和為6的概率為．………………………………………………………7分

     （Ⅱ）這種游戲規則不公平．…………………………………………………………9分

設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， …………………………………10分

則甲勝即兩數字之和為偶數所包含的基本事件數為13個：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲勝的概率P（B）＝，從而乙勝的概率P（C）＝1－＝．14分

由于P（B）≠P（C），所以這種游戲規則不公平． ……………………15分

評講建議：

    本題主要考查古典概率的計算及其相關知識，要求學生列舉全面，書寫規范．尤其注意此類問題的答題格式：設事件、說明概型、計算各基本事件種數、求值、作答．

引申：連續玩此游戲三次，若以D表示甲至少贏一次的事件，E表示乙至少贏兩次的事件，試問D與E是否為互斥事件?為什么?（D與E不是互斥事件．因為事件D與E可以同時發生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意；亦可分別求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得兩者一互斥．）

3.證明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．……………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ……7分

（Ⅱ）存在點P，P為A₁B₁的中點． ……………………………………………8分

證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．…………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁為平行四邊形，從而CB₁∥DP．…………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．……………………13分

同理，DP‖面BCB₁．…………………………………………………………14分

評講建議：

本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關知識，第一小題要引導學生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小題，要求學生熟練掌握一個常用結論：若一直線與兩相交平面相交，則這條直線一定與這兩平面的交線平行；同時注意問題的邏輯要求和答題的規范性，這里只需要指出結論并驗證其充分性即可，當然亦可以先探求結論，再證明之，這事實上證明了結論是充分且必要的．

變題：

求證：（1）A₁B⊥B₁D；（2）試在棱AB上確定一點E，使A₁E∥平面ACD₁，并說明理由．

4.解：（Ⅰ）因為，

所以． ………………………………3分

因為h（x）在區間上是增函數，

所以在區間上恒成立．

若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．

又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． …………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．………………9分

以下證明．      （※）

（※）等價于． ………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上為增函數．

當x₁<x₂時，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

從而得到證明．…………………………………………………………15分

對于同理可證…………………………………………………16分

所以．

評講建議：

此題主要考查函數、導數、對數函數、二次函數等知識．評講時注意著重導數在研究函數中的應用．本題的第一小題是常規題比較容易，第二小題是以數學分析中的中值定理為背景，作輔助函數，利用導數來研究函數的性質，是近幾年高考的熱點．第二小題還可以這樣證明：

要證明，只要證明>1，令，作函數h（x）＝t－1－lnt，下略．

5.解：（Ⅰ）由題設，得 ， ……………………………………3分

即，解得n＝8，n＝1（舍去）．………………………………4分

（Ⅱ）設第r＋1的系數最大，則………………………………6分

即 解得r＝2或r＝3． …………………………………8分

所以系數最大的項為，．……………………………………10分

說明：掌握二項式定理，展開式的通項及其常見的應用．