2006年普通高等學校招生全國統一考試
上海卷 數學（文史類）
一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空填對得4分，否則一律得零分。
1、已知，集合，若,則實數。
2、已知兩條直線若，則____.
3、若函數的反函數的圖像過點，則。
4、計算：。
5、若復數滿足（為虛數單位），其中則。
6、函數的最小正周期是_________。
7、已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________.
8、方程的解是_______.
9、已知實數滿足，則的最大值是_________.
10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是______（結果用分數表示）。
11、若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是_________.
12、如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數對是點的“距離坐標”，根據上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點的個數是____________.
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分。
13、如圖，在平行四邊形中，下列結論中錯誤的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
14、如果，那么，下列不等式中正確的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
15、若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的 （ ）
（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件
（C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件
16、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是
（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36
三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17、（本題滿分12分）
已知是第一象限的角，且，求的值。
18、（本題滿分12分）如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援（角度精確到）？
19、（本題滿分14）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。
在直三棱柱中，.
（1）求異面直線與所成的角的大小；
（2）若與平面S所成角為，求三棱錐的體積。
20、（本題滿分14）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。設數列的前項和為，且對任意正整數，。
（1）求數列的通項公式
（2）設數列的前項和為,對數列，從第幾項起？
21、本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；
（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。
22（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分。
已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數。
（1）如果函數在上是減函數，在上是增函數，求的值。
（2）設常數，求函數的最大值和最小值；
（3）當是正整數時，研究函數的單調性，并說明理由。
一、(第1題至笫12題)
1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.
8. 5 9. 0 10. 11.－1<b<1 12. 4
二、(第13題至笫16題)
13. C 14. A 15. A 16. D
1、已知，集合，若, 則實數。
2、已知兩條直線若，，則2.
3、若函數＝（＞0，且≠1）的反函數的圖象過點（2，－1），則原函數的圖象過點(－1，2)，∴ ，＝．
4、計算：。
5、若復數滿足（為虛數單位）為純虛數，其中，則m=2，z=3i，。
6、函數=sin2x，它的最小正周期是π。
7、已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是.
8、方程的解滿足，解得x=5.
9、已知實數滿足，在坐標系中畫出可行域，得三個交點為A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，則的最大值是0.
10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是.
11、曲線得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是[－1，1].
12、如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數對是點的“距離坐標”，根據上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點可以在兩條直線相交所成的四個區域內各找到一個，所以滿足條件的點的個數是4個.
二、選擇題：
13. C 14. A 15. A 16. D
14、如果，那么，∴ ，選A.
15、若空間中有兩條直線，若“這兩條直線為異面直線”，則“這兩條直線沒有公共點”；若 “這兩條直線沒有公共點”，則 “這兩條直線可能平行，可能為異面直線”；∴ “這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的充分非必要條件，選A.
16、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”，分情況討論：① 對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12=24個；② 對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個；所以正方體中“正交線面對”共有36個．選D.
三、(第17題至笫22題)
17.解：=
由已知可得sin,
∴原式=.
18.解：連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.
19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,
∴異面直線B1C1與AC所成角為45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,
∴AA1=.
∴三棱錐A1-ABC的體積V=S△ABC×AA1=.
20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
當n≥2時, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an
∴= an=2048()n－1.
(2) ∵log2an=log2[2048()n－1]=12－n,
∴Tn=(－n2+23n).
由Tn<－509,解待n>,而n是正整數,于是,n≥46.
∴從第46項起Tn<－509.
21.解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為
(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0),
由
得
y0=2y－
由,點P在橢圓上,得,
∴線段PA中點M的軌跡方程是.
(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立.
∴S△ABC的最大值是.
22.解(1) 由已知得=4, ∴b=4.
(2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],
于是,當x=時, 函數f(x)=x+取得最小值2.
f(1)－f(2)=,
當1≤c≤2時, 函數f(x)的最大值是f(2)=2+；
當2≤c≤4時, 函數f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)設0<x1<x2,g(x2)－g(x1)=.
當<x1<x2時, g(x2)>g(x1), 函數g(x)在[,+∞)上是增函數；
當0<x1<x2<時, g(x2)>g(x1), 函數g(x)在(0, ]上是減函數.
當n是奇數時,g(x)是奇函數,
函數g(x) 在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數.
當n是偶數時, g(x)是偶函數,
函數g(x)在(－∞,－)上是減函數, 在[－,0]上是增函數.
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