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1．若 ，且，則是                                  （     ）

 A．第一象限角                       B．第二象限角        

C．第三象限角                       D．第四象限角

2．對于向量、、和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是                       （     ）

A．若，則                 B．若，則

C．若，則或        D．若，則=0

3．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對稱，且存在反函數(shù)．若，則的值是（     ）

  A．-1             B．1            C．2              D．3

4．已知、是兩條不同直線，、是兩個(gè)不同平面，下列命題中的真命題是           （     ）

     A．如果，那么

       B．如果，那么

C．如果共面，那么∥

D．如果∥,，,那么

5．從原點(diǎn)向圓引兩條切線，則兩條切線所夾的劣弧的長是           （     ）

    A．              B．             C．            D．

6．若集合，，則“”是“”的 （     ）

A．充分不必要條件                B．必要不充分條件         

C．充分必要條件                  D．既不充分也不必要條件  

7． 在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（     ）

Ａ．    Ｂ．        

Ｃ．    Ｄ．

8．設(shè)為大于零的常數(shù)，則函數(shù)的最小值是                 （     ）

A．          B．         C．        D．

第Ⅱ卷（ 共110分）

注意事項(xiàng)：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．

2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚．

題 號(hào)

二

                   三

總分

9

10

11

12

13

14

15

  16

  17

  18

  19

  20

分 數(shù)

得分

評(píng)卷人

9．設(shè)為虛數(shù)單位，=              ．

 10．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是            ．

 11．從5名學(xué)生中選出3人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每科1人．若學(xué)生甲不能參加物理競賽，則不同的參賽方案共有             種(用數(shù)字作答)．

12．直線與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是         ；設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足約束條件 且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為            ．

13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為雙曲線左準(zhǔn)線上的點(diǎn)，且交雙曲線于第一象限一點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且垂直平分，則雙曲線的離心率=           ．

14． 給出如下三角形數(shù)表：

1

2  2

3   4  3

4   7   7  4

5  11  14  11  5

6  16  25  25  16  6

……………………

此數(shù)表滿足：① 第行首尾兩數(shù)均為，② 表中數(shù)字間的遞推關(guān)系類似于楊輝三角，即除了“兩腰”上的數(shù)字以外，每一個(gè)數(shù)都等于它上一行左右“兩肩”上的兩數(shù)之和．第行第個(gè)數(shù)是_____________．

得分

評(píng)卷人

15．（本小題滿分13分）

在中，角所對的邊的長分別為，且滿足．

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，求的值．

得分

評(píng)卷人

 16．（本小題滿分13分）

某高等學(xué)校自愿獻(xiàn)血的50位學(xué)生的血型分布的情況如下表：

血型

A

B

AB

O

人數(shù)

20

10

5

15

（Ⅰ）從這50位學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求這2人血型都為A型的概率；

（Ⅱ）從這50位學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求這2人血型相同的概率；

（Ⅲ）現(xiàn)有一位血型為A型的病人需要輸血，要從血型為A,O的學(xué)生中隨機(jī)選出2人準(zhǔn)備獻(xiàn)血，記選出A型血的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

得分

評(píng)卷人

17．（本小題滿分14分）

如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2， E是棱CC1上的一個(gè)動(dòng)

  點(diǎn)．

   （Ⅰ）求證：BE∥平面AA1D1D；

   （Ⅱ）當(dāng)CE=1時(shí)，求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）當(dāng)CE等于何值時(shí)，A1C⊥平面BDE．

得分

評(píng)卷人

18．（本小題滿分13分）

已知數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線上，數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

得分

評(píng)卷人

19．（本小題滿分13分）

已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，且到橢圓的右準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，，求證為定值．

得分

評(píng)卷人

20．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

北京市朝陽區(qū)高三統(tǒng)一考試

     數(shù)學(xué)試卷答案(理科)      2009．2

題 號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C 

C

A

B

B

9．      10． 15      11． 48      12．； 5     13．   

14．

15．解：（Ⅰ）  因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image165.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >，所以．

所以．即=0．

在中，,所以=0，得．  ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image267.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >，所以．

    又因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image126.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >是的內(nèi)角，所以．

所以．        ┅┅┅┅13分

16． 解：（Ⅰ）記“這2人血型都為A型”為事件A，那么，

即這2人血型都為A型的概率是．                 ┅┅┅┅4分

（Ⅱ）記“這2人血型相同”為事件B，那么，

所以這2人血型相同的概率是．                         ┅┅┅┅8分

（Ⅲ）隨機(jī)變量可能取的值為0，1，2．且，

，．

所以的分布列是

0

1

2

的數(shù)學(xué)期望為E=0×+1×+2×=．┅┅┅┅13分

17．解法（一）

（Ⅰ）證明： 由已知，為正四棱柱，

所以平面BB1C1C∥平面AA1D1D,

又因?yàn)锽E平面BB1C1C，

所以，BE∥平面AA1D1D．                 ┅┅┅┅4分

（Ⅱ）解：如圖1，過C作CH⊥ED于H，連接BH．

因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image300.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >為正四棱柱，所以BC⊥平面C1CDD1.

則CH是斜線BH在面C1CDD1上的射影,所以BH⊥ED．

       所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image309.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >,所以．

在RtBCH中，,所以,

所以,二面角B―ED―C的大小是．┅┅┅┅9分

（Ⅲ）如圖2，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,

因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image300.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >為正四棱柱，AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，

由三垂線定理可知，A1C⊥BD．

連結(jié)B1C，因?yàn)锳1B1⊥平面B1BCC1，

所以B1C 是A1C在平面B1BCC1上的射影．

要使A1C⊥平面BDE，只需A1C⊥BE，由三垂線定理可知，只需B1C⊥BE．

      由平面幾何知識(shí)可知，

B1C⊥BE BCE∽B1BC ．

由已知BB1=AA1=4，BC=AB=2，所以．

即當(dāng)時(shí), A1C⊥平面BDE．                         ┅┅┅┅14分

解法（二）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)―xyz，如圖．

（Ⅰ）證明： 依題意可設(shè)E（2，2，z）,

因?yàn)锽（2，0，0）, 所以=（0，2，z）．

又因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image332.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >, 為平面AA1D1D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA1D1D，

所以，BE∥平面AA1D1D．

（Ⅱ）因?yàn)镃E=1，所以E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  設(shè)平面BDE的法向量為,

由得  所以

所以．又面,所以為平面CDE的法向量．

因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image360.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >,所以．

由圖可知,二面角的平面角小于,所以二面角B―ED―C的大小是．

（Ⅲ）解：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O．

因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image300.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >為正四棱柱，

所以AC⊥BD．

要使A1C⊥平面BDE，只需A1C⊥BE．

由題意B（2，0，0），C（2，2，0），A1（0，0，4），

設(shè)CE=x，則E（2，2，x），

所以, ．

由，得，

解得．  所以CE=1時(shí)，A1C⊥平面BDE．

18． 解：（Ⅰ）由點(diǎn)在直線上，所以．

則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．

由，

則 = ，()

兩式相減得：

,．即數(shù)列的前項(xiàng)和,．

當(dāng)時(shí)，，所以.

當(dāng)時(shí)，．

所以．                                ┅┅┅┅7分

（Ⅱ）因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image197.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >，所以．

   當(dāng)時(shí)，，

    當(dāng)時(shí)，

設(shè)．

令，則，

兩式相減得：

點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積，

，

由題知且，于是，

故的面積的取值范圍是．                 ┅┅┅┅9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得

，，

于是，，

所以．

因?yàn)?img border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip/file:///E:\cooco.net.cn\docfiles\down\test\down\%25&Ovr1\11f2419e2317fbc67207e98e46a67a23.zip\66106.files\image447.gif" alt=6ec8aac122bd4f6e >，

所以，即為定值．                       ┅┅┅┅14分

20．（Ⅰ）解：⑴當(dāng)時(shí), ,

．

由得, 解得或．

注意到,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

由得,解得,

注意到,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．

⑵當(dāng)時(shí)，，，

由得,解得，

注意到,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．

由得,解得或，

由,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．

綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；

單調(diào)遞減區(qū)間是，．                  ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí),，

所以，

設(shè).

⑴當(dāng)時(shí)，有, 此時(shí),所以,在上單調(diào)遞增．

    所以

⑵當(dāng)時(shí),．

     令,即,解得或(舍);

令,即,解得．

①若,即時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞減，

所以．

②若,即時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞減,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以．

③若,即時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以．

綜上所述,當(dāng)或時(shí), ;

        當(dāng)時(shí), ;

當(dāng)時(shí), ．                   ┅┅┅┅13分