2006年全國普通高等學校招生統一考試
上海 數學試卷（理工農醫類）
考生注意：
1．答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚．
2．本試卷共有22道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．
一．填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，則實數＝ ．
2．已知圓－4－4＋＝0的圓心是點P，則點P到直線－－1＝0的距離是 ．
3．若函數＝（＞0，且≠1）的反函數的圖像過點（2，－1），則＝ ．
4．計算：＝ ．
5．若復數同時滿足－＝2，＝（為虛數單位），則＝ ．
6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ．
7．已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 ．
8．在極坐標系中，O是極點，設點A（4，），B（5，－），則△OAB的面積是 ．
9．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是 （結果用分數表示）．
10．如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是 ．
11．若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點，則、分別應滿足的條件是 ．
12．三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路．
甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．
乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”．
丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”．
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 ．
二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必本大題滿分16分）須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分．
（A）＝；（B）＋＝；
（C）－＝；（D）＋＝．
14．若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的 [答]（ ）
（A）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件．
15．若關于的不等式≤＋4的解集是M，則對任意實常數，總有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
①若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的點
有且僅有1個；
②若＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為
（，）的點有且僅有2個；
③若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．
17．（本題滿分12分）
求函數＝2＋的值域和最小正周期．
[解]
18．（本題滿分12分）
如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？
19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）若E是PB的中點，求異面直線
DE與PA所成角的大小（結果用反
三角函數值表示）．
[解]（1）
（2）
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．
（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．
[解]（1）
（2）
21．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）
已知有窮數列共有2項（整數≥2），首項＝2．設該數列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數＞1．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若＝2，數列滿足＝（＝1，2，┅，2），求數列的通項公式；
（3）若（2）中的數列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．
[解]（1）
（2）
（3）
22．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分）
已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．
（1）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；
（2）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數＝＋（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．
[解]（1）
（2）
（3）
2006年全國普通高等學校招生統一考試
上海 數學試卷（理工農醫類）
考生注意：
1．答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚．
2．本試卷共有22道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．
一．填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4
分，否則一律得零分．）
1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，則實數＝ ；
解：由，經檢驗，為所求；
2．已知圓－4－4＋＝0的圓心是點P，則點P到直線－－1＝0的距離是 ；
解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；
3．若函數＝（＞0，且≠1）的反函數的圖像過點（2，－1），則＝ ；
解：由互為反函數關系知，過點，代入得：；
4．計算：＝ ；
解：；
5．若復數同時滿足－＝2，＝（為虛數單位），則＝ ；
解：已知；
6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ；
解：已知；
7．已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的
標準方程是 ；
解：已知為所求；
8．在極坐標系中，O是極點，設點A（4，），B（5，－），則△OAB的面積是 ；
解：如圖△OAB中，
(平方單位)；
9．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們任意地排成
一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是 （結果用分數表示）；
解：分為二步完成： 1) 兩套中任取一套，再作全排列，有種方法；
2) 剩下的一套全排列，有種方法；
所以，所求概率為：；
10．如果一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體
中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是 ；
解：正方體中，一個面有四條棱與之垂直，六個面，共構成24個“正交線面對”；而正方
體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構成12個“正交線
面對”，所以共有36個“正交線面對”；
11．若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點，則、分別應滿足的條件是 ．
解：作出函數的圖象，
如右圖所示：
所以，；
12．三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數
的取值范圍”提出各自的解題思路．
甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．
乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”．
丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”．
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 ；
解：由＋25＋|－5|≥，
而，等號當且僅當時成立；
且，等號當且僅當時成立；
所以，，等號當且僅當時成立；故；
二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結
論，其中有且只有一個結論是正確的，必本大題滿分16分）須把正確結論的代號寫在題
后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括
號內），一律得零分．
（A）； （B）；
（C）； （D）；
解：由向量定義易得， （C）選項錯誤；；
14．若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”
的 [答]（ ）
（A）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件；
解： 充分性成立： “這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況：
1）第四點在共線三點所在的直線上，可推出“這四個點在同一平面上”；
2）第四點不在共線三點所在的直線上，可推出“這四點在唯一的一個平面內”；
必要性不成立：“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行直線上”；
故選（A）
15．若關于的不等式≤＋4的解集是M，則對任意實常數，總有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M；
解：選（A）
方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關于的不等式解集是
否為；
方法2：求出不等式的解集：
≤＋4；
16．如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到
已知常數≥0，≥0，給出下列命題：
① 若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的
點有且僅有1個；
② 若＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為
（，）的點有且僅有2個；
③ 若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
解：選（D）
① 正確，此點為點； ② 正確，注意到為常數，由中必有一個為零，另
一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距
離為（或）； ③ 正確，四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線
相距為的兩條平行線的交點；
三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．
17．（本題滿分12分）
求函數的值域和最小正周期．
[解]
∴ 函數的值域是,最小正周期是；
18．（本題滿分12分）
如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待
營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙
船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到）？
[解] 連接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.
19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）若E是PB的中點，求異面直線
DE與PA所成角的大小（結果用
反三角函數值表示）．
[解]（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB與平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.
∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.
（2）解法一：以O為坐標原點,射線OB、OC、
OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立
空間直角坐標系.
在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、
D、P的坐標分別是A(0,－,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中點,則E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
設的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.
由E是PB的中點,得EF∥PA，
∴∠FED是異面直線DE與PA所成
角(或它的補角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA=，則EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，
cos∠FED==
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．
（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．
[解]（1）設過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).
當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,－). ∴=3；
當直線的鈄率存在時,設直線的方程為，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；
(2)逆命題是：設直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.
例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,
直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；
說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線
AB過點(－1,0),而不過點(3,0).
21．（本題滿分16分，本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題
滿分6分）
已知有窮數列共有2項（整數≥2），首項＝2．設該數列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數＞1．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若＝2，數列滿足＝（＝1，2，┅，2），
求數列的通項公式；
（3）若（2）中的數列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|
≤4，求的值．
(1) [證明] 當n=1時,a2=2a,則=a；
2≤n≤2k－1時, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴數列{an}是等比數列.
(2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
（3）設bn≤,解得n≤k+,又n是正整數,于是當n≤k時, bn<；
當n≥k+1時, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
當≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.
22．（本題滿分18分，本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題
滿分9分）
已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．
（1）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；
（2）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的
函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數
＝＋（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利
用你的研究結論）．
[解]（1）函數y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6, ∴b=log29.
(2) 設0<x1<x2,y2－y1=.
當<x1<x2時, y2>y1, 函數y=在[,+∞)上是增函數；
當0<x1<x2<時y2<y1, 函數y=在(0,]上是減函數.
又y=是偶函數，于是，
該函數在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數；
(3) 可以把函數推廣為y=(常數a>0),其中n是正整數.
當n是奇數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,
在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數；
當n是偶數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,
在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數；
F(x)=+
=
因此F(x) 在 [,1]上是減函數,在[1,2]上是增函數.
所以，當x=或x=2時，F(x)取得最大值()n+()n；
當x=1時F(x)取得最小值2n+1；
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