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1．已知                                                              （    ）

       A．                    B．                 C．                    D．

2．圓錐曲線                                                                （    ）

       A．     B．       C．      D．

3．設函數                      （    ）

       A．（－1，1）                                         B．（－1，+）

       C．                            D．

4．函數的最大值為                                                         （    ）

       A．              B．               C．                    D．2

5．已知圓的弦長為時，則a=                                                                           （    ）

       A．                   B．              C．               D．

6．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值是（    ）

       A．                B．                C．                D．

7．已知方程的四個根組成的一個首項為的等差數列，則

                                                                                                             （    ）

       A．1                        B．                      C．                      D．

8．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為M、N兩點，MN中點的橫坐標為則此雙曲線的方程是                                          （    ）

       A．                                     B．     

       C．                                     D．

9．函數                                             （    ）

       A．                         B．

       C．                   D．

10．已知長方形的四個項點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P₀沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂、P₃和P₄（入射解等于反射角），設P₄坐標為（的取值范圍是                                                                   （    ）

       A．                 B．               C．               D．

11．                                                                   （    ）

       A．3                        B．                      C．                      D．6

12．一個四面體的所有棱長都為，四個項點在同一球面上，則此球的表面積為 （    ）

       A．3                    B．4                    C．3                D．6

13．展開式中的系數是              .

15．如圖，一個地區分為5個行政區域，

現給地圖著色，要求相鄰區域不得

使用同一顏色，現有4種顏色可

供選擇，則不同的著色方法共有

               種.（以數字作答）

16．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為具所在棱的中點，能得出⊥面MNP的圖形的序號是             .（寫出所有符合要求的圖形序號）

17．（本小題滿分12分）

       已知復數z的輻角為60°，且是和的等比中項. 求.

18．(本小題滿分12分)

       如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，側棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

       （Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；

       （Ⅱ）求點A₁到平面AED的距離.

19．（本小題滿分12分）

已知  設

P：函數在R上單調遞減.

Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求的取值范圍.

20．（本小題滿分12分）

21．（本小題滿分14分）

22．（本小題滿分12分，附加題4分）

       （Ⅰ）設中所有的數從小到大排列成的數列，

         即

        將數列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

                         3

                   5          6

                9       10        12

―     ―     ―      ―

          ―     ―    ―     ―      ―

       （i）寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；   （i i）求.

       （Ⅱ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）

設中所有的數都是從小到大排列成的數列，已知

絕密★啟用前

2003年普通高等學校招生全國統一考試

數      學(理工農醫類)答案

1．D  2．C  3．D  4．A  5．C  6．B  7．C  8．D  9．D  10．C  11．B  12．A

13．    14．（-1，0）       15．72       16．①④⑤

17． 解：設，則復數由題設

18．（Ⅰ）解：連結BG，則BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A₁B與平面ABD所成的角.

設F為AB中點，連結EF、FC，

（Ⅱ）解：

19．

解：函數在R上單調遞減

不等式

20．解：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向.

         在時刻：（1）臺風中心P（）的坐標為

         此時臺風侵襲的區域是

         其中若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有

         即

         答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.

21．根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值.

按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）設

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直線OF的方程為：①

直線GE的方程為：②

從①，②消去參數k，得點P（x,y）坐標滿足方程

整理得 當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.

    當時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長。

當時，點P到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值。

當時，點P 到橢圓兩個焦點（0， 的距離之和為定值2.

22．（本小題滿分12分，附加題4分）

  （Ⅰ）解：（i）第四行17  18  20  24    第五行 33  34  36  40  48

   （i i）解：設，只須確定正整數 

數列中小于的項構成的子集為 

其元素個數為滿足等式的最大整數為14，所以取

因為100－

（Ⅱ）解：令

         因

        現在求M的元素個數：

其元素個數為：   

某元素個數為

某元素個數為