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1．函數的最小正周期T=             .

2．若             .

3．在等差數列中，a₅=3, a₆=－2,則a₄+a₅+…+a₁₀=             .

4．已知定點A（0，1），點B在直線x+y=0上運動，當線段AB最短時，點B的坐標

是             .

5．在正四棱錐P―ABCD中，若側面與底面所成二面角的大小為60°，則異面直線PA與BC所成角的大小等于             .（結果用反三角函數值表示）

6．設集合A={x||x|<4},B={x|x²－4x+3>0}, 則集合{x|x∈A且=             .

7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,則∠ABC=             .（結果用反三角函數值表示）

8．若首項為a₁，公比為q的等比數列的前n項和總小于這個數列的各項和，則首項a₁，公比q的一組取值可以是（a₁，q）=             .

9．某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成.現從中隨機選出兩位作為成果發布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為             .（結果用分數表示）

10．方程x³+lgx=18的根x≈             .（結果精確到0.1）

11．已知點其中n為正整數.設S_n表示△ABC外接圓的面積，則=             .

12．給出問題：F₁、F₂是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F₁的距離等于9，求點P到焦點F₂的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由

   ||PF₁|－|PF₂||=8，即|9－|PF₂||=8，得|PF₂|=1或17.

   該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據填在下面空格內，若不正確，將正確的結果填在下面空格內.

                                                                              .

13．下列函數中，既為偶函數又在（0，π）上單調遞增的是                                 （    ）

                                       A．y=tg|x|.                                               B．y=cos(－x).

                                       C．                                                        D．.

14．在下列條件中，可判斷平面α與β平行的是                                                     （    ）

                                       A．α、β都垂直于平面r.

                                       B．α內存在不共線的三點到β的距離相等.

                                       C．l，m是α內兩條直線，且l∥β，m∥β.

                                       D．l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.

15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四點中，函數的圖象與其反函數的圖象的公共點只可能是點                                                                 （    ）

                                       A．P．                   B．Q.                        C．M.              D．N.

16．f()是定義在區間[－c,c]上的奇函數，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下

                                       A．若a<0,則函數g（）的圖象關于原點對稱.

                                       B．若a=1， 0<b<2,則方程g（）=0有大于2的實根.

                                       C．若a=－2,b=0,則函數g(x)的圖象關于y軸對稱

                                       D．若 a≠0,b=2,則方程g（）=0有三個實根.

17．（本題滿分12分）

    已知復數z₁=cosθ－i，z₂=sinθ+i，求| z₁?z₂|的最大值和最小值.

18．（本題滿分12分）

    已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B₁D⊥BC，直線B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的體積.

19．（本題滿分14分）

    已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性.

20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

   （1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱

        寬l是多少？

   （2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設

        計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧

        道的土方工程量最小？

      （半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.本題結果精確到0.1米）

21．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分.

    在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

   （1）求向量的坐標；

   （2）求圓關于直線OB對稱的圓的方程；

   （3）是否存在實數a，使拋物線上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

22．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分.

已知數列（n為正整數）是首項是a₁，公比為q的等比數列.

   （1）求和：

   （2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明.

   （3）設q≠1，S_n是等比數列的前n項和，求：

2003年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）

數學（文史類）答案

1．π.  2．.   3．－49 .  4．.   5．arctg2.   6．[1,3].

7．   8．的一組數）. 9． 

10．2.6 .                   11．4π      12．|PF₂|=17.

題  號

13

14

15

16

代  號

C

D

D

B

17．[解]

   故的最大值為最小值為.

18．[解]連結BD，因為B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，所以BC⊥BD.

又因為直線B₁D與平面ABCD所成的角等于30°，所以

∠B₁DB=30°，于是BB₁=BD=2.

故平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的體積為S_ABCD?BB₁=.

19．[解]x須滿足

所以函數的定義域為（－1，0）∪（0，1）.

因為函數的定義域關于原點對稱，且對定義域內的任意x，有

，所以是奇函數.

研究在（0，1）內的單調性，任取x₁、x₂∈（0，1），且設x₁<x₂ ，則

得>0，即在（0，1）內單調遞減，

由于是奇函數，所以在（－1，0）內單調遞減.

20．[解]（1）如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5），  橢圓方程為.

（2）由橢圓方程，得

故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.

[解二]由橢圓方程，得 于是

得以下同解一.

21．[解]（1）設得

   所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標準方程為：(x－3)²+y(y+1)²=10, 得圓心（3，－1），半徑為.

設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x ,y）則

故所求圓的方程為(x－1)²+(y－3)²=10。

（3）設P (x₁,y₁), Q (x₂,y₂) 為拋物線上關于直線OB對稱兩點，則

故當時，拋物線y=ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩點.

22．[解]（1）

（2）歸納概括的結論為：

若數列是首項為a₁，公比為q的等比數列，則

（3）因為