江蘇省如皋市2009屆高三第一次統一考試
數學試卷(文科)
一．填空題
１． 設集合
, 
, 則A∩B= ．
２．在等比數列
中，
，公比q是整數，則
= ．
３． 已知0<
, 則A與B的大小關系是 ．
４． 在數列
中，已知
，當
時，
，那么
．
５． 正數
滿足
，則
的最小值為 __．
６． 已知數列
，
，且數列的前
項和為
，那么的值為__________．
７． 已知函數
的定義域是R，則實數k的取值范圍是
_ ．
８． 等差數列的前15項的和為-5，前45項的和為30，則前30項的和為________．
９． 已知兩個等差數列
的前n項的和分別為
，且
，則 
＝_ ．
10．若
是等差數列，首項
，
，則使前n項和
成立的最大正整數n是
．
11．． 若正數a、b滿足ab=a+b+3, 則ab的取值范圍是 ．
12．
設
≥0，
≥0，且
，則
的最大值為____ __．
13．不等式
的解集是
．
14． 若不等式
對滿足
的所有
都成立，則
的取值范圍 ．
二．解答題
15．．（本題14分）設全集為R,集合A={ㄏ
(3-)
},B={ㄏ
},
求
．
16．設數列的前項和為
．已知
，
，
．
（Ⅰ）設
，求數列
的通項公式；
（Ⅱ）求數列{
}的通項公式．
17．已知二次函數
的二次項系數為
，且不等式
的解集為
．
（Ⅰ）若方程
有兩個相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值為正數，求的取值范圍．
18．已知
, 若
在區間
上的最大值為
, 最小值為
, 令
．
(1)
求
的函數表達式；
(2) 判斷的單調性, 并求出的最小值．
19．某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園
，公園由長方形的休閑區
和環公園人行道（陰影部分）組成．已知休閑區的面積為
平方米，人行道的寬分別為
米和
米（如圖）
（１）若設休閑區的長和寬的比
，求公園所占面積
關于的函數
的解析式；
（２）要使公園所占面積最小，休閑區的長和寬該如何設計？
20．已知函數
滿足
．
（１）求
的值；
（２）若數列
，求數列
的通項公式；
（３）若數列滿足
，是數列前項的和，是否存在正實數
，使不等式
對于一切的
恒成立？若存在指出的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．
一、．填空題
1．設集合
, 
, 則A∩B=
2． 在等比數列
中，
，公比q是整數，則
= ―128
3．
已知0<
, 則A與B的大小關系是 A<B
4．在數列
中，已知
，當
時，
，那么
.
5． 正數
滿足
，則
的最小值為
__
6． 已知數列
，
，且數列的前
項和為
，那么 的值為______99____
7． 已知函數
的定義域是R，則實數k的取值范圍是 _
8． 等差數列的前15項的和為-5，前45項的和為30，則前30項的和為___5_____
9． 已知兩個等差數列
的前n項的和分別為
，且
，則 
＝_
_
10．若
是等差數列，首項
，
，則使前n項和
成立的最大正整數n是 4006
11．若正數a、b滿足ab=a+b+3, 則ab的取值范圍是 
12．設
≥0，
≥0，且
，則
的最大值為____
__
13．不等式
的解集是
或
__
14．若不等式
對滿足
的所有
都成立，則
的取值范圍（
,
）_
二．解答題
15．（本題14分）設全集為R,集合A={ㄏ
(3-)
},B={ㄏ
},
求
．
解：A=[-1,3) ……3分
, B=(-2,3] ……6分
[-1,3)
……9分
……14分
16．（本題14分）設數列的前項和為
．已知
，
，
．
（1）設
，求數列
的通項公式；
（2）求數列{
}的通項公式．
解：（1）依題意，
，即
， ……3分
由此得
．
……6分
因此，所求通項公式為
，．
……8分
（2）由①知
，，
于是，當
時，
，
……12分
13分
……14分
17．（本題15分）已知二次函數
的二次項系數為
，且不等式
的解集為
．
（1）若方程
有兩個相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值為正數，求的取值范圍．
解：（1）設
由得
它的解集為（1，3）得方程
的兩根為1和3且a<0
即
……（1）
……3分
有等根得
……（2）
……6分
由(1)(2)及
得
故的解析式為
……8分
（2）由
及
……10分
由
……12分
解得 
……15分
18．（本題15分）已知
, 若
在區間
上的最大值為
, 最小值為
, 令
．
(1) 求
的函數表達式；
(2) 判斷的單調性, 并求出的最小值．
解：(1) 函數的對稱軸為直線
, 而
∴
在
上
……3分
①當
時，即
時，
……5分
②當2
時，即
時，
……7分
……8分
(2)
．
……15分
19．（本題16分）某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園
，公園由長方形的休閑區
和環公園人行道（陰影部分）組成．已知休閑區的面積為
平方米，人行道的寬分別為
米和
米（如圖）
（1）若設休閑區的長和寬的比
，求公園所占面積
關于的函數
的解析式；
（2）要使公園所占面積最小，休閑區的長和寬該如何設計？
解：（1）設休閑區的寬為米，則其長為
米，
∴
，
∴
…8分
（2）
，當且僅當
時，公園所占面積最小，
……14分
此時，
，即休閑區的長為
米，寬為
米。……16分
20．已知函數
滿足
．
（1）求
的值；
（2）若數列
，求數列
的通項公式；
（3）若數列滿足
，是數列前項的和，是否存在正實數
，使不等式
對于一切的
恒成立？若存在指出的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．
解：（1）令
，
，
，
……2分
令
，
……5分
（2）∵
①
∴
②
由（Ⅰ），知
∴①+②，得
…… 10分
（3）∵ ，∴ 
∴
， ①
，
②
①－②得
即
…… 12分
要使得不等式恒成立，即
對于一切的恒成立，
設
當
時，由于對稱軸直線
，且 
，而函數在
是增函數，∴不等式
恒成立
即當實數大于時，不等式對于一切的恒成立 ……16分
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