上海市普陀區2008學年度第二學期高三年級質量調研
數學試卷 （理科） 2009.04
說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據。
一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結果填寫在答題紙對應的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.
1．若復數
（
是虛數單位），則
.
2. 已知函數
，
是
的反函數，若
的圖像過點
，則
.
3. 用金屬薄板制作一個直徑為
米，長為
4. 設
、
是平面內一組基向量，且
、
，則向量
可以表示為另一組基向量
、
的線性組合，即
.
5. 右圖是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數，則其輸出結果所表示的分段函數為
.
6. 關于x、y的二元線性方程組
的增廣矩陣經過變換，最后得到的矩陣為
，則
.
7. 在極坐標系中，設曲線
和
相交于點
、
，則
＝ .
8. 設聯結雙曲線
與
（
，
）的
個頂點的四邊形面積為
，聯結其個焦點的四邊形面積為
，則
的最大值為
.
9. 將函數
的圖像向左平移
（
）個單位，所得圖像對應的函數為偶函數，則的最小值為
.
10. 園丁要用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖所示圓形花壇的四塊區域. 要求同一區域內須用同一種顏色的鮮花，相鄰區域須用不同顏色的鮮花. 設花圃中布置紅色鮮花的區域數量為
，則隨機變量的數學期望
.
11. 已知數列
是首項為
、公差為1的等差數列，數列
滿足
.若對任意的
,都有
成立,則實數的取值范圍是
.
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在答題紙相應的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內），或者沒有填寫在題號對應的空格內，一律得零分.
12. 以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程
的一個法向量的是 （ ）
A． 
； B. 
； C. 
; D. 
.
13. 設數列
的首項
且前
項和為
.已知向量
，
滿足
，則
（ ）
A. 
； B. 
; C. 
; D. 
.
14. 在△ABC中，“
”是“△ABC為鈍角三角形”的 （ ）
A．必要非充分條件； B．充分非必要條件； C．充要條件； D．既非充分又非必要條件.
15. 現有兩個命題：
（1） 若
，且不等式
恒成立，則
的取值范圍是集合
；
（2） 若函數
，
的圖像與函數
的圖像沒有交點，則的取值范圍是集合
；
則以下集合關系正確的是 （ ）
A． 
； B. 
； C. 
； D. 
.
三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規定的方框內寫出必要的步驟.
16. （本題滿分12分）過拋物線
的焦點
且方向向量為
的直線
交該拋物線于、兩點，求
的值.
17. （本題滿分14分） 已知復數
，
（是虛數單位），且
.當實數
時，試用列舉法表示滿足條件的
的取值集合.
18. （本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）
若，
（
、
）.
(1) 求
的值；
（2）求證：數列各項均為奇數.
19. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部
是矩形，其中
米，
米.上部
是個半圓，固定點
為
的中點.
是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），
是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和
平行的伸縮橫桿（和
不重合）.
（1）當和之間的距離為
的通風面積；
（2）設與之間的距離為米，試將三角通風窗的通風面積
（平方米）表示成關于的函數
；
（3）當與之間的距離為多少米時，三角通風窗的通風面積最大？并求出這個最大面積.
20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）
如圖，四棱錐
中，
平面，四邊形是直角梯形，其中
，
. 
，
.
（1） 求異面直線
與
所成角的大�。�
（2） 若平面內有一經過點
的曲線，該曲線上的任一動點都滿足
與所成角的大小恰等于與所成角. 試判斷曲線的形狀并說明理由；
（3）在平面內，設點是（2）題中的曲線在直角梯形內部（包括邊界）的一段曲線
上的動點，其中
為曲線和
的交點. 以為圓心，
為半徑的圓分別與梯形的邊、
交于
、
兩點. 當點在曲線段
上運動時，試提出一個研究有關四面體
的問題（如體積、線面、面面關系等）并嘗試解決.
【說明：本小題將根據你提出的問題的質量和解決難度分層評分；本小題的計算結果可以使用近似值，保留3位小數】
上海市普陀區2008學年度第二學期高三年級質量調研
一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：
1. 
； 2.
理：2；文：
； 3. 理：1.885；文：2；
4. 理：
；文：1.885； 5. 理：
；文：4； 6. 理：
；文：；
7. 理：
；文：； 8. 理：
；文：6； 9. 理：
；文：
；
10. 理：1； 文：； 11. 理：
；文：； 12. 文：；
二、選擇題（每題4分，總分16分）：
題號
理12；文13
理13；文14
理：14；文：15
理15；文：16
答案
A
C
B
C
三、解答題：
16.（理，滿分12分）
解：因為拋物線的焦點
的坐標為
，設
、
，
由條件，則直線
的方程為
，
代入拋物線方程
，可得
，則
.
于是，
.
…2
…4
…8
…12
17.（文，滿分12分）
解：因為
，所以由條件可得
，
.
即數列
是公比
的等比數列.
又
，
所以，
.
…4
…6
…8
…12
（理）17.（文）18. （滿分14分）
解：因為
所以，
即
或
，
或
，
又由
，即
當
時，
或
；當
時，
或
.
所以，集合
.
…3
…7
…11
…14
18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）
解：（1）當
時，
故
，
，所以
.
（2）證：由數學歸納法
（i）當
時，易知
，為奇數；
（ii）假設當
時，
，其中
為奇數；
則當
時，
所以
，又
、
，所以
是偶數，
而由歸納假設知是奇數，故
也是奇數.
綜上（i）、（ii）可知，
的值一定是奇數.
證法二：因為
當
為奇數時，
則當時，是奇數；當
時，
因為其中
中必能被2整除，所以為偶數，
于是，必為奇數；
當為偶數時，
其中
均能被2整除，于是必為奇數.
綜上可知，
各項均為奇數.
…3
…6
…8
…10
…14
…15
…10
…14
…15
19. （文，滿分14分）
解：如圖，設
中點為
，聯結
、
.
由題意，
,
,所以
為等邊三角形，
故
，且
.
又
，
所以
.
而圓錐體的底面圓面積為
,
所以圓錐體體積
.
…3
…8
…10
…14
（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
解：（1）由題意，當
和
之間的距離為應位于
上方，
且此時
中邊上的高為
又因為
米，可得
米.
所以，
平方米，
即三角通風窗
的通風面積為
平方米.
（2）1
如圖（1）所示，當在矩形區域滑動，即
時，
的面積
；
2如圖（2）所示，當在半圓形區域滑動，即
時，
，故可得的面積
；
綜合可得：
（3）1當在矩形區域滑動時，
在區間
上單調遞減，
則有
；
2當在半圓形區域滑動時，
，
等號成立
，
.
因而當
（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為
（平方米）.
…2
…4
…6
…9
…10
…12
…15
…16
21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）
解：（1）設右焦點坐標為
（
）.
因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為
，
由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且
.
于是可知，
為等腰直角三角形，則由
，
又由等軸雙曲線中，
.
即，等軸雙曲線
的方程為
.
（2）設、為雙曲線直線的兩個交點.
因為
，直線的方向向量為
，直線的方程為
.
代入雙曲線的方程，可得
，
于是有
而
.
（3）假設存在定點
，使
為常數，其中
，
為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.
①當直線與
軸不垂直時，設直線的方程為
代入，可得
.
由題意可知，
，則有
，
．
于是，
要使是與
無關的常數，當且僅當
，此時
.
②當直線與軸垂直時，可得點
,
，
若，亦為常數.
綜上可知，在軸上存在定點
，使為常數.
…3
…5
…7
…9
…11
…13
…16
…17
…18
20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）
解：（1）解法一：由題意，四邊形
是直角梯形，且∥，
則
與所成的角即為
.
因為
，又
平面，
所以
平面
，則有
.
因為
，,
所以
，則
，
即異面直線與所成角的大小為
.
解法二：如圖，以
為原點，直線為軸、直線為
軸、直線
為
軸，
建立空間直角坐標系.
于是有
、
，則有
，又
則異面直線與所成角
滿足
,
所以，異面直線與
同步練習冊答案
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