撫順市2009屆高考調研試題
數學試題 (理工類)
（本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．共150分．考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題，共6分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，四個選項中只有一項正確）
1.設復數
，
（
），若
為實數，則
等于
A. －2 B. －
2.已知
,
,
,
A.
B.
C.
D.
3.已知
、
是不共線的向量，
，
（
、
），則
、
、
三點共線的充要條件是
A. λ＋μ=1 B.λ－μ=
4.設映射
是實數集
到實數集
的映射，若對于實數
，
在中不存在原象，則的取值范圍是
A.[1,+∞) B.（1,+∞） C.（－∞,1） D.（－∞,1]
5.“同一首歌”心連心文藝團體下基層進行宣傳演出，原準備的節目表中有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，在它們之間再插入3個舞蹈節目，如果這三個舞蹈節目在節目表中既不排頭，也不排尾，則不同的插入方法有（ ）種
A.200 B
6.已知
是第一象限的角，且
，那么
A.
B.
C.
D.
7. 雙曲線
（a＞0，b＞0）中，虛軸的兩個端點與一個焦點恰好構成等邊三角形，若虛軸長為2，則兩條準線間的距離為
A. 
B. 
C.
D.?
8.等差數列
中，
是其前
項和，
，
，則
的值為
A.2006
B
9.設
、
、
為三個不同的平面，
、
為兩條不同的直線，在下列四個條件中：①
，
，
； ②
，，
；③，
，
； ④
，
，
。是
的充分條件的有：
A.①② B.②④ C.②③ D. ③④
10.已知點M（a，b）在由不等式組
所在平面區域的面積是
A．8 B．
11.已知函數
（其中
是自然對數的底數）的反函數為
，則有
A. 
?
B. ?
C. ?
D. ?
12．若不等式
在
上恒成立,則
的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 半徑為
的球面上有、、三點，其中點與、兩點間的球面距離均為
，、兩點間的球面距離均為
，則球心到平面
的距離為___ _ .
14. 
展開式中，所有項的系數之和為 ．
15.
、
(
為原點)是圓
的兩條互相垂直的半徑，
是該圓上任一點，且
，則
．
16．如圖，B地在A地的正東方向
地在B地的北偏東30°方向
的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離
比到B的距離遠
選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運
貨物.經測算，從M到B、M到C修建公
路的費用分別是a萬元/km、
那么修建這兩條公路的總費用最低是 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知向量
，
（
，
）.函數
，
的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為，且過點
.
（1）求函數
的表達式；
（2）當
時，求函數的單調區間。
18．（本小題滿分12分）
在某社區舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答這道題對的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
.
（1）求乙、丙兩人各自回答這道題對的概率；
（2）用
表示回答該題對的人數，求的分布列和數學期望
.
19．（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側面
是等腰三角形且垂直于底面，
，
，
、
分別是
、
的中點。
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小。
20．（本小題滿分12分）
已知數列中，
，
，其前項和滿足
.令
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若
，求證：
（
）；
21．（本小題滿分12分）
已知:點A(0,1),點R在y軸上運動, 點T在x軸上,N為動點,且
（1）設動點N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）如圖所示：過點B（-2，0）的直線與曲線C交于點P、Q，
若在曲線C上存在點M，使得
是以PQ為斜邊的直角三角形，求直線的斜率
的取值范圍。
22．（本小題滿分12分）
已知函數
.
（1）求函數的單調區間和極值；
（2）若
對滿足
的任意實數恒成立，求實數的取值范圍（這里是自然對數的底數）
（3）求證：對任意正數
、
、、
，恒有：
.
2009屆調研試題數學一(理科)
一、選擇題: C C D B D A A C B B Ａ �。�
（2）由（Ⅰ）
，
.
的可能取值為：
、
、
、
.
則
；
；
；
.…………9分
∴的分布列為
的數學期望
.…………12分
故二面角
的大小為
…………………………12分
解法二：如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系，使
軸，
、
分別在
軸、
軸上。
20．解：（1）由題意知
即
……2分
∴
……5分
檢驗知
、時，結論也成立，故
.…………6分
（2）由于
,故
.…………12分
21．解：（1）設
，由
知：R是TN的中點，…………………1分
則T(-x,0),R(0,
),
=O 則（-x,- ）?(1,- )=0………………3分
∴ 點N的軌跡曲線C的方程為：
……………5分
（2）設直線
的方程為
，代入曲線C的方程得: 
此方程有兩個不等實根，
……………6分
M在曲線C上，P、Q是直線與曲線C的交點，
設
則
，
是以PQ為斜邊的直角三角形
……8分
,
,有
由于
，
∴
∴
…………10分
t為點M的縱坐標，
關于
的方程
有實根，
，
直線的斜率
且
，
或
…12分
22．解（1）
∴
的增區間為
，減區間為
和
.…………3分
極大值為
，極小值為
.…………5分
（2）原不等式可化為
由（1）知，
時，
的最大值為
.
∴
的最大值為
，由恒成立的意義知道
，從而
…8分
(3)設
則
.
∴當
時，
，故
在
上是減函數，
又當
、
、
、
是正實數時，
∴
.
由的單調性有：
，
即
.…………12′
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