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2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

數(shù)學(xué)（理科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁. 全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的標(biāo)準(zhǔn)差： s=，其中為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑.

第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

1. 已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是

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A. B. C. D.

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2. 正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則等于

A. -16 B. 10 C. 16 D. 256

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3. 已知隨機(jī)變量，若，則等于

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A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 Ｄ. 0.4

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4. 已知兩個向量a、b滿足ab =－，| a |=4，a和b的夾角為135°，則| b |為

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A. 12 B. 3 C. 6 D.

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5. 若，且, 則實(shí)數(shù)的值為

Ａ. 1或3 Ｂ. -3 C. 1 Ｄ. 1或 -3

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6. 實(shí)數(shù)、滿足則=的取值范圍是

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A. [－1,0] B. －∞,0] C. [－1,+∞ D. [－1,1

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7. 過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則等于

　 A．10 B．8 C．6 D．4

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8. 一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則的最大值為

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A． B． C． D．

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9. 設(shè)函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

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10. 如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，若將這種順序的排列作為某種密碼，則這種密碼的個數(shù)為

A. 18個 B. 256個 C. 512個 D. 1024個

第Ⅱ卷（非選擇題共100分）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

11. 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料

使用年限

維修費(fèi)用

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由資料可知和呈相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的=，據(jù)此估計(jì)，使用年限為10年時的維修費(fèi)用是萬元.

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（參考公式：，

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）

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12. 已知某算法的流程圖如圖所示，則輸出的結(jié)果是_______________.

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13. 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、

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俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則它的

外接球的表面積是.

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14. 設(shè)函數(shù)()，若，

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，則= .

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15. 已知集合,

有下列命題

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①若　則.

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②若則.

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③若則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

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④若則對于任意不等的實(shí)數(shù)，總有成立.

其中所有正確命題的序號是 .

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三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16. （本小題滿分13分）

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已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、,且，

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.

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17.（本小題滿分13分）

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如圖，正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面

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互相垂直，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

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（Ⅰ）求證：∥平面；

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（Ⅱ）線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面

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所成角的正弦值為？若存在，請求出的

值；若不存在，請說明理由．

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18. （本小題滿分13分）

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某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺. 當(dāng)筆記本電腦銷售價為6000元/臺時，月銷售臺；根據(jù)市場分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價提高的

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百分率為，那么月銷售量減少的百分率為.記銷售價提高的百分率為時，

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電腦企業(yè)的月利潤是（元）.

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（Ⅰ）寫出月利潤（元）與的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）試確定筆記本電腦的銷售價，使得電腦企業(yè)的月利潤最大.

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19.（本小題滿分13分）

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如圖，已知橢圓:的一

個焦點(diǎn)是（1，0），兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)

構(gòu)成等邊三角形.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

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（Ⅱ）過點(diǎn)(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的

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對稱點(diǎn)為.

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（?）求證：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（?）求△面積的取值范圍.

20.（本小題滿分14分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

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（Ⅱ）數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，

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且.

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（?）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，請證明；否則，說明理由.

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（?）設(shè)為首項(xiàng)是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)，使”.

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21. 本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．

（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換

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若點(diǎn)在矩陣對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為，求矩陣的逆矩陣．

（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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已知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，求||的最小值．

（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講

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已知實(shí)數(shù)滿足且的最大值是7，求的值．

2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

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說明：

一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.

二、對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分50分.

1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分20分.

11. 12.38 12. 5 13. 3 14. 15. ②③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）由，知 ………………………（2分）

又，得，

， ………………………（5分）

故 ………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

6ec8aac122bd4f6e

………………………………（9分）

，

當(dāng)，即時，取得最大值為． ……………（13分）

6ec8aac122bd4f6e 17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

6ec8aac122bd4f6e 解：（Ⅰ）證明：如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，；

6ec8aac122bd4f6e ∥，∥，

又，，

6ec8aac122bd4f6e ，…………（3分）

四邊形為平行四邊形，

∥，

又平面，平面，

∥平面． ………………………（6分）

（Ⅱ）依題意知平面平面，，

平面，得

又，.

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系-xyz，

，可得、、，

設(shè)平面的一個法向量為，

由得

解得，． ………………………（9分）

設(shè)線段上存在一點(diǎn)，其中，則，

，

依題意：，即，

可得，解得（舍去）．

所以 6ec8aac122bd4f6e 上存在一點(diǎn)． …………（13分）

18．本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題與解決問題的能力，

考查應(yīng)用意識. 滿分13分.

解：（Ⅰ）依題意，

銷售價提高后為6000（1+）元/臺，月銷售量為臺……………（2分）

則 ……………………（4分）

即． ……………………（6分）

（Ⅱ）

令，得，

解得舍去）． ……………………（9分）

當(dāng) 當(dāng)

當(dāng)時，取得最大值．

此時銷售價為元．

答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業(yè)的月利潤最大．…………………（13分）

6ec8aac122bd4f6e 19．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的一個焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距=1.

因?yàn)闄E圓兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …（4分）

6ec8aac122bd4f6e （Ⅱ）（i）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：.

記，，

，

. ……………（5分）

由A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，得，

根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），

得，即.

所以

即定點(diǎn)（1 ， 0）. ……………………………………（8分）

（ii）由（i）中判別式，解得.

可知直線過定點(diǎn) (1,0).

所以　　　 ……………（10分）

得, 令

記，得，當(dāng)時，.

在上為增函數(shù).

所以，

得.

故△OA₁B的面積取值范圍是. ……………（13分）

20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識，考查運(yùn)用合理的推理證明解

決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，

所以. ………………（1分）

（i）當(dāng)時，.

（ii）當(dāng)時，由，得到，知在上.

（iii）當(dāng)時，由，得到，知在上.

綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間為；當(dāng)時, 遞增區(qū)間為. ………………………………………（4分）

（Ⅱ）（i）因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，

所以，即，

，即. ……………………………………（6分）

因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，

當(dāng)時，，

所以. …………………………（8分）

又因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數(shù)列中. ………（9分）

（ii）充分性：若存在整數(shù)，使.

設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，則

又且,所以.

即是數(shù)列的第項(xiàng). ……………………（10分）

必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)，

則，，（，為互不相同的正整數(shù)）

則，令，

得到，

所以，令整數(shù)，所以.　……（11 分）

下證整數(shù)

若設(shè)整數(shù)則.令，

由題設(shè)取使

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使. ……………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運(yùn)算求解能力，滿分7分.

解：，即，

所以得 ……………………（4分）

即M= ，由得 .

或 =1 , . …………………（7分）

（2）本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解：曲線的極坐標(biāo)方程可化為,

其直角坐標(biāo)方程為，即. ……………（2分）

直線的方程為.

所以，圓心到直線的距離 ……………………（5分）

所以，的最小值為. …………………………（７分）

（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解：由柯西不等式：

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