鞍山市2009年高三畢業班第二次質量調查
數 學（文科）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁.第Ⅱ卷3至4頁。考試時間120分鐘。滿分150分。
注意：所有答案都必須填寫到答題卡指定位置上，寫在本試卷上的無效！
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．下列集合中，表示空集的是
A．
B．
C．
D．
2．復數
（其中
是虛數單位，
）的實部和虛部互為相反數，則
A．
B．
C．
D．2
3．右圖為甲、乙兩運動員在近階段比賽得分情況的莖葉圖．其中表示甲的得分為
A．14，15，11 B．41，51，11
C．451 D．10
4．右圖是一個空間幾何體的三視圖，如果主視圖和左視圖都是邊長為2的正三角形，俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為
A．
B．
C．
D．條件不足，無法確定
5．下面給出的拋物線中，焦點在直線
上的是
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
6．已知向量a，b的夾角為
，且|a|=2，|b|=2，在△ABC中，
a--b，
a，則∠A的大小為
A．
B． C．
D．
7．等比數列
的前n項和為Sn，若
，
，則此等比數列的公比等于
A．2 B．
8．對于冪函數
與
，當
時，
，且
，則
A．
B．
C．
D．
9．已知α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列命題不正確的是
A．若m∥n，m⊥α，則n⊥α B．若m⊥α，
β，則α⊥β
C．若m⊥β，m⊥α，則α∥β
D．若m∥α，α∩β=n，則m∥n
10.若實數
滿足
，且
的最大值等于34，則正實數
A．
B．
C．1 D．
11.右邊程序框圖輸出的倒數第二個數為
A．
B．
C．
D．
12. 集合
，下列函數：
①
；②
；③
中，屬于集合
的有
A．①② B．②③ C．①③ D．①
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題: 本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13．函數
在區間
上是增函數，則實數
的取值范圍是______．
14．從一堆蘋果中取出容量為50的隨機抽樣樣本，得到它們質量的頻率分布表如下：
分組
[90，100）
[100，110）
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150）
頻數
4
7
12
？
7
2
由此表可知，在這堆蘋果中任取一個蘋果，其質量在[120，140）內的頻率為 ．
15．圓錐曲線
的焦距與實數
無關，則其焦點坐標為
．
16．對于函數
, 給出下列四個命題:
① 
, 使
；
②
, 使
恒成立；
③ 
，使函數
的圖象關于y軸對稱；
④ 函數f(x)的圖象關于點
對稱．
其中正確命題的序號是 ．
三、解答題：本大題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）
從區間（0，1）中隨機取兩個實數，求下列事件概率．
（Ⅰ）兩數之和小于1.2；
（Ⅱ）兩數的平方和小于0.25．
18．（本小題滿分12分）
已知
為△
的三個內角，其對邊分別為
.設向量m
，n
.已知
，m?n
．
（Ⅰ）若△的面積
，求
的值；
（Ⅱ）求的取值范圍．
19．（本小題滿分12分）
在三棱柱
中，
，
，
，
為
中點，平面
⊥平面
，
（Ⅰ）求證：
∥平面；
（Ⅱ）求證：
⊥平面．
20．（本小題滿分12分）
已知數列的前
項和為
．
（Ⅰ）若數列是各項均為正數的等差數列，且公差
，求證：數列
也是等差數列；
（Ⅱ）若滿足：
，
．求數列的通項公式．
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓：
．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為
和
，求橢圓的方程；
第21題圖
（Ⅱ）如圖，過坐標原點
任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于
和
四點．設原點到四邊形
某一邊的距離為
，試證：當
時，有
．
22．（本小題滿分12分）
已知函數
滿足：
，且其導數
．a，b
，
．
（Ⅰ）若函數在
上的最大、最小值分別為1，
，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數在點
處的切線方程；
（Ⅲ）設函數
，試判斷函數
的極值點的個數．
鞍山市2009年高三畢業班第二次質量調查考試
一、選擇題：每小題5分，滿分60分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
A
A
A
B
D
D
B
C
C
二、填空題：每小題5分，滿分20分.
13．
14． 
15．
16．①③④
三、解答題
17．設兩個實數為a，b，
，
，建立平面直角坐標系aOb， 則點
在正方形OABC內 ……… 2分
(Ⅰ) 記事件A“兩數之和小于
，則滿足條件的點在多邊形OAEFC內
所以
……… 6分
(Ⅱ) 記事件B“兩數的平方和小于在扇形內
所以
………10分
18．∵m?n
∴
……… 4分
再由余弦定理
得：
（Ⅰ）由
得
，故
……… 8分
（Ⅱ）由得
解得
，所以
的取值范圍是
………12分
19．（Ⅰ）連接
，交
于
，易知為、中點，故在△
中，
為邊
的中位線，故∥，
平面
，
平面，所以∥平面 ……… 5分
（Ⅱ）在平面
內過點
作
⊥
，垂足為H，
∵平面⊥平面，且平面∩平面
，
∴⊥平面，∴⊥
， ……… 8分
又∵
，
為
中點，∴⊥
∴⊥平面，∴⊥
，又∵
，
∴
⊥平面
． ………12分
20．（Ⅰ）∵
是各項均為正數的等差數列，且公差
∴
∴
……… 3分
∴
為常數，∴
是等差數列 ……… 5分
（Ⅱ）∵
，∴
∴
是公差為1的等差數列 ……… 7分
∴
，∴
……… 9分
當
時，
………10分
當
時，
綜上，
………12分
21．（Ⅰ）
……… 4分
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等……… 5分
⑴當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為
，
． ……… 6分
⑵當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，
． ……… 7分
⑶當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，
、
P在橢圓上，
.......①；R在橢圓上，
......②
利用Rt△POR可得 
……… 9分
即 
整理得 
． ………11分
再將①②帶入，得
綜上當
時，有． ………12分
22．（Ⅰ）∵
，且
，∴
∴在
上， 
和
變化情況如下表：
x
０
１
＋
０
－
↑
b
↓
……… 2分
∵函數
在
上的最大值為1，
∴
，此時應有
∴
∴， ……… 4分
（Ⅱ）
……… 6分
所求切線方程為
………
8分
（Ⅲ）
………10分
設
△
∴當
時，函數
的無極值點
當
時，函數有兩個極值點 ………12分
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