海 淀 區 高 三 年 級 第 二 學 期 期 末 練 習
數 學（文科） 2008.5
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1. 答卷前將學校、班級、姓名填寫清楚。
2. 選擇題的每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。其他小題用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
（1）sin(
)cos()= （ ）
（A）
sin2 （B）sin2
（C）sin2 （D）cos2
（2）定義映射f：A→B，若集合A中元素x在對應法則f作用下的象為log3 x，則A中元素9的象是 （ ）
（A）2 （B）2 （C）3 （D）3
（3）若a為實數，則圓（x-a）2+（y+
（A）2x+y=0 （B）x+2y=0 （C）x2y=0
（D）2xy=0
（4）1+2+22+…+29的值為 （ ）
（A）512 （B）511 （C）1024 （D）1023
（5）函數f(x)= 
與g(x)=()x-1在同一直角坐標系中的圖象是 （ ）
（6）設m,n,l是三條不同的直線，，
，
是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ）
（A）若m,n與l所成的角相等，則m∥n
（B）若∥，m
,則m∥
（C）若m,n與所成的角相等,則m∥n
（D）若與平面,所成的角相等,則∥
（7）設雙曲線C：
y2=1的右焦點為F，直線l過點F.若直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交，則直線l 的斜率k的取值范圍是 （ ）
（A）k≤
或k≥ （B）k＜或k＞ （C）＜k＞ （D）≤k≤
（8）設函數f(x)=x|x|+bx+c,給出下列四個命題： （ ）
①當c=0時，y=f(x)是奇函數；
②當b=0時，c＞0時，方程f(x)=0只有一個實根；
③函數y=f(x)的圖象關于點(0，c)對稱；
④方程f(x)=0至多有兩個實根，
其中正確命題的個數為
（A）1個 （Ｂ）2個 （C）3個 （D）4個
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數 學（文科） 2008.5
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項：
1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2. 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題號
一
二
三
總分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分數
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請把答案填在題中橫線上.
（9）已知向量a=(1, 2),b=(4,2),那么a與b夾角的大小是
.
（10）已知點A分有向線段
所成的比為2,且M（1，3），N（
，1），那么A點的坐標為 .
（11）已知橢圓
=1（a>0）的一條準線方程是x=4,那么此橢圓的離心率是
.
（12）設地球的半徑為R，則地球北緯60°的緯線圈的周長等于 .
（13）若圓x2+y22x=0關于直線y=x對稱的圓為C，則圓C的圓心坐標為 ；再把圓C沿向量a=（1，2）平移得到圓D，則圓D的方程為
.
（14）定義運算：
=adbc，若數列{an}滿足
=1，且
=2（n
N*）,則a3=
，數列{an}的通項公式為an=
.
（15）（本小題共12分）
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
設函數f(x)=p?q,其中向量p=（sinx,cosx+sinx）,q=(2cosx,cosxsinx), xR.
（Ⅰ）求f(
)的值及函數f(x)的最大值；
（Ⅱ）求函數f(x)的單調遞增區間.
（16）（本小題共14分）
在三棱椎SABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=4
.
（Ⅰ）證明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求二面角ABCS的大小；
（Ⅲ）求直線AB與平面SBC所成角的大小.
（用反三角函數表示）
（17）（本小題共13分）
甲、乙、丙三人組成一組，參加一個闖關游戲團體賽.三人各自獨立闖關，其中甲闖關成功的概率為
，甲、乙都闖關成功的概率為
，乙、丙都闖關成功的概率為
.每人闖關成功記2分，三人得分之和記為小組團體總分.
（Ⅰ）求乙、丙各自闖關成功的概率；
（Ⅱ）求團體總分為4分的概率；
（Ⅲ）若團體總分不小于4分，則小組可參加復賽.求該小組參加復賽的概率.
（18）（本小題共13分）
將數列{an}的各項排成如圖所示的三角形形狀.
（Ⅰ）若數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列，寫出圖中第5行第5個數；
（Ⅱ）若函數f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且f(1)=n2,求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設Tm為第m行所有項的和，在（Ⅱ）的條件下，用含m的代數式表示Tm.
 |
（19）（本小題共14分）
已知O為坐標原點，點F的坐標為（1，0），點P是直線m:x=1上一動點，點M為PF的中點，點Q滿足QM⊥PF，且QP⊥m.
（Ⅰ）求點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）設過點（2，0）的直線l與點Q的軌跡交于A、B兩點，且∠AFB=
.試問能否等于
?若能,求出相應的直線l的方程；若不能，請說明理由.
（20）（本小題共14分）
已知函數f(x)=x3+ax24（aR）.
（Ⅰ）若函數y=f(x)的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為
，求a;
（Ⅱ）設f(x)的導函數是f′(x).在（Ⅰ）的條件下，若m，n[1,1],
求f(m)+f′(n)的最小值；
（Ⅲ）若存在x0（0，+∞），使f(x0) ＞0,求a的取值范圍.
海 淀 區 高 三 年 級 第 二 學 期 期 末 練 習
數 學（文科）
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）
題號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
B
A
D
D
B
C
C
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）
(10)(2,－1) (11)
,或
（12）
(13)（0，1），（x－1）2+(y－3)2=1
（14）10，4n－2
三、解答題（本大題共6小題,共80分.）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p = (sinx,cosx+sinx)，q=(2cosx,cosx－sinx),
∴f(x) = p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx－sinx)
=2sinxcosx+cos2x－sin2x………………………………………………2分
=sin2x+cos2x……………………………………………………………4分
∴f(
) =
…………………………………………………………………5分
又f(x) = sin2x+cos2x =
………………………………………6分
∴函數f(x)的最大值為
. ……………………………………………………7分
當且僅當x=
+k
(k
Z)時，函數f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2
－
≤2x+
≤2+ (kZ) …………………………………9分
得－
≤x≤+(kZ)， …………………………………………11分
∴函數f(x)的單調遞增區間為［－,+］ (k∈Z). …………12分
(16)(共14分)
解法一:
解：（Ⅰ）∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A. ∴SA⊥平面ABC.…………………………2分
∴AC為SC在平面ABC內的射影. ……………………………………………3分
又AC⊥BC，∴BC⊥SC……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)BC⊥SC，又BC⊥AC，
∴∠SCA為所求二面角的平面角…………………………………………………………6分
又∵SB=4
，BC=4，
∴SC=4. ∵AC=2，∴∠SCA=60°…………………………………………………9分
即二面角A－BC－S的大小為60°
（Ⅲ）過A作AD⊥SC于D，連結BD，
由（Ⅱ）得BC⊥平面SAC，
又BC
平面SBC，
∴平面SAC⊥平面SBC，
且平面SAC
平面SBC=SC.
∴AD⊥平面SBC.
∴BD為AB在平面SBC內的射影.
∴∠ABD為AB與平面SBC所成角.…………………………11分
在Rt△ABC中，AB=
，
在Rt△SAC中，SA=
=2
，
AD=.
∴sinABD=
.……………………………………………………………………13分
所以直線AB與平面SBC所成角的大小為arcsin
.…………………………………14分
解法二:
解：(Ⅰ)由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，
以C點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系C － xyz.
則A(0，2，0)，B（4，0，0），C（0，0，0），S（0，2，
）.……………………………2分
則
=（0，－ 2，
），
=（－4，0，0）.
∴?=0.
∴SC⊥BC.…………………………………………………………4分（Ⅱ）∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥平面ABC.
∴
=(0，0，)是平面ABC的法
向量.…………………………………………………………………5分
設側面SBC的法向量為
n=(x，y，z)，
=（0，－ 2，－），=（－4,0,0）.
∵?n=0，?n=0，
∴
∴x=0.令z=1則y=
，
則平面SBC的一個法向量n=(0，，1).……………………………………………7分
cos
,n
= =
.……………………………………………………8分
即二面角A－BC－S的大小為60°.……………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知n=(0，－
，1)是平面SBC的一個法向量.……………………………10分
又
=(4，－2，0)，
∴cos
，n
=
=
.…………………………………………13分
所以直線AB與平面SBC所成角為arcsin.…………………………………………14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）設乙闖關成功的概率為P1，丙闖關成功的概率為P2………………………1分
因為乙丙獨立闖關，根據獨立事件同時發生的概率公式得：
………………………………………………………………………3分
解得P1=，P2=
.…………………………………………………………5分
答：乙闖關成功的概率為
，丙闖關成功的概率為
.
（Ⅱ）團體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關，而另外一個沒過關.
設“團體總分為4分”為事件A，………………………………………………6分
則P（A）=（1－
）
.
………………………………………………………………………………………9分
答：團體總分為4分的概率為
.
（Ⅲ）團體總分不小于4分，即團體總分為4分或6分，
設“團體總分不小于4分”為事件B，…………………………………………10分
由(Ⅱ)知團體總分為4分的概率為.
團體總分為6分，即3人都闖關成功的概率為
………………12分
所以參加復賽的概率為P（B）=
.…………………………………13分
答：該小組參加復賽的概率為
.
(18)（共13分）
解：（Ⅰ）第5行第5個數是29.……………………………………………………………2分
（Ⅱ）由f(1)=n2，得a1+a2+a3+…+an=n2.…………………………………………………3分
設Sn是數列{an}的前n項和，∴Sn=n2.……
當n=1時，a1=S1=1,…………………………………………………………………5分
當n≥2時,an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2=2n－1.………………………………………6分
又當n=1時，2n－1=1=a1,
∴an=2n－1. ………………………………………………………………………8分
即數列{an}的通項公式是an=2n－1(n=1，2，3，…).
（Ⅲ）由(Ⅱ)知數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列.……………………………9分
∵前m－1行共有項1+2+3+…+(m－1)= 
，
∴第m行的第一項為
=2×
－1=m2－m+1.………………11分
∴第m行構成首項為m2－m+1，公差為2的等差數列，且有m項.
∴Tm=（m2－m+1）×m+
×2=m3.……………………………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）設Q（x,y），由已知得點Q在FP的中垂線上，……………………………1分
即|QP|=|QF|. ……………………………………………………………………2分
根據拋物線的定義知點Q在以F為焦點，直線m為準線的拋 物線上，…4分
所以點Q的軌跡方程為y2=4x(x≠0). …………………………………………6分
（注：沒有寫出x≠0扣1分）
(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時，點A坐標為（2，
），點B坐標為（2，－），
∵點F坐標為(1，0)，可以推出∠AFB≠
…………………………………8分
當直線l的斜率存在時，
設l的方程為y=k(x－2)，它與拋物線y2=4x的交點坐標分別為A(x1,y1)，
B(x2,y2)
由
得x1x2=4，y1y2=－8.……………………………………10分
假定θ=，則有cosθ=
,
如圖，即
，
（*）
由定義得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1.
從而有|AF|2+|BF|2－|AB|2
=(x1+1)2+(x2+1)2－(x1－x2)2－(y1－y2)2
=－2(x1+x2)－6
∴|AF|?|BF|=（x1+1）(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5.…………………………12分
將上式代入(*)得
,即x1+x2+1=0.
這與x1＞0且x2＞0相矛盾.
綜上,θ不能等于
.…………………………………………………………14分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）
=－3x2+2ax.………………………………………………………………1分
據題意，
=tan
=1, ∴－3+2a=1，即a=2.……………………………3分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)=
x3+2x24,
則f′（x）=3x2+4x.
x
1
（1,0）
0
（0，1）
1
f′（x）
7
0
+
1
f（x）
1
4
3
…………………………………………………………………………………5分
∴對于m[1,1],f（m）的最小值為f（0）=4……………………………6分
∵f′（x）=3x2+4x的對稱軸為x=
,且拋物線開口向下，
∴x[1，1]時，f′（x）最小值為f′（1）與f′（1）中較小的.
∵f′（1）=1, f′（1）=7,
∴當x[1，1]時，f′（x）最小值為7.
∴當n[1，1]時，f′（n）最小值為7.……………………………………7分∴f（m）+ f′（n）的最小值為11.……………………………………………8分（Ⅲ）∵f′（x）=3x（x
）.
①若a≤0，當x＞0時，f′（x）＜0, ∴f（x）在[0，+∞]上單調遞減.
又f（0）=4，則當x＞0時, f（x）＜4.
∴當a≤0時，不存在x0＞0，使f（x0）＞0.…………………………………11分
②若a＞0，則當0＜x＜時，f′（x）＞0，當x＞時，f′（x）＜0.
從而f（x）在（0, ]上單調遞增，在[，+∞)上單調遞減.
∴當x（0，+∞）時，f（x）max=f（）=
+
4=
4.
據題意，4＞0，即a3＞27. ∴a＞3. …………………………………14分
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）.
說明：其他正確解法按相應步驟給分.
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