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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座七

探究、操作性問題

【知識縱橫】

     探索研究是通過對題意的理解，解題過程由簡單到難，在承上啟下的作用下，引導學生思考新的問題，大膽進行分析、推理和歸納，即從特殊到一般去探究，以特殊去探求一般從而獲得結論，有時還要用已學的知識加以論證探求所得結論。操作性問題是讓學生按題目要求進行操作，考察學生的動手能力、想象能力和概括能力。

【典型例題】

【例1】（江蘇鎮江)探索研究

如圖，在直角坐標系中，點為函數在第一象限內的圖象上的任一

點，點的坐標為，直線過且與軸平行，過作軸的平行線分別交軸，于，連結交軸于，直線交軸于．

（1）求證：點為線段的中點；  

（2）求證：①四邊形為平行四邊形；  ②平行四邊形為菱形；

（3）除點外，直線與拋物線有無其它公共點？并說明理由．

【思路點撥】（2）①證；②設，證AP=PQ;（3）求直線的解析式與拋物線方程組成聯立方程組，討論方程組解的情況。

【例2】（福建南平）

（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點．

①如圖1，求證：；

 ②探究：如圖1，         ；

如圖2，         ；

如圖3，         ．

（2）如圖4，已知：是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊；是以為邊向外所作正邊形的一組鄰邊．的延長相交于點．

①猜想：如圖4，         （用含的式子表示）；

②根據圖4證明你的猜想．

【思路點撥】（2）②由正邊形的內角定理，證_。

【例3】（內江市）

在一平直河岸同側有兩個村莊，到的距離分別是3km和2km，．現計劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個村莊供水．

方案設計

某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖13-1是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中于點）；圖13-2是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中點與點關于對稱，與交于點）．

觀察計算

（1）在方案一中，         km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，         km（用含的式子表示）．

探索歸納

（1）①當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）請你參考右邊方框中的方法指導，

就（當時）的所有取值情況進

行分析，要使鋪設的管道長度較短，

應選擇方案一還是方案二？

【思路點撥】參考方法指導解答探索

歸納（2）。

【例4】（浙江寧波）如圖1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為．

（1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：

第一步  將矩形的短邊與長邊對齊折疊，點落在上的點處，鋪平后得折痕；

第二步    將長邊與折痕對齊折疊，點正好與點重合，鋪平后得折痕．

則的值是        ，的長分別是       ，        ．

（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值．

（3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構成“”型圖案，它的四個頂點分別在“16開”紙的邊上，求的長．

（4）已知梯形中，，，，且四個頂點都在“4開”紙的邊上，請直接寫出2個符合條件且大小不同的直角梯形的面積．

【思路點撥】（3）證,，設，建立關于x的方程解之；（4）參考圖3分二類情形討論。

【學力訓練】

1、（山東聊城）探索研究：如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪

去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．

（1）要使長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？

（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；

（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

2、（山東棗莊）把一副三角板如圖甲放置，其中，，，斜邊，．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時AB與CD₁相交于點，與D₁E₁相交于點F．

（1）求的度數；

（2）求線段AD₁的長；

（3）若把三角形D₁CE₁繞著點順時針再旋轉30°得△D₂CE₂，這時點B在△D₂CE₂的內部、外部、還是邊上？說明理由．

3、（江蘇鹽城）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置

關系為   ▲   ，數量關系為   ▲   ．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF

相交于點P，求線段CP長的最大值．

    4、（07麗水市）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形的邊落在軸的正半軸上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的兩邊分別落在坐標軸上，且它的面積等于直角梯形面積．將正方形沿軸的正半軸平行移動，設它與直角梯形的重疊部分面積為．

（1）分析與計算：

求正方形的邊長；

（2）操作與求解：

①正方形平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷（＞0）的變化情況是       ；

A．逐漸增大    B．逐漸減少    C．先增大后減少   D．先減少后增大

②當正方形頂點移動到點時，求的值；

（3）探究與歸納：

設正方形的頂點向右移動的距離為，求重疊部分面積與的函數關系式．