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【典型例題】

【例1】（黑龍江齊齊哈爾）（1）

，      ，

點，點分別在軸，軸的正半軸上   

（2）求得

（3）；；；

【例2】（廣東東莞）（1），;  等腰；

   （2）共有9對相似三角形.  　①△DCE、△ABE與△ACD或△BDC兩兩相似，分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5對)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2對)

③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2對)

所以，一共有9對相似三角形

（3）由題意知，FP∥AE，

    ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

  ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.

過點P作PK⊥FB于點K，則.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，.

在Rt△BPK中，

∴ △FBP的面積，

∴ S與t之間的函數關系式為：

 ，或.    t的取值范圍為：.

【例3】（河北）（1）∵∥

                   ∴

在中， ,∴，  

∴  而 ∴為等邊三角形

            ∴…（3分）

（2）∵

∴      

∴

=    （）

即

∴當時，

（3）①若為等腰三角形，則：

（i）若， 

    ∴∥

∴ 即

解得：

此時

（ii）若，

    ∴

過點作，垂足為，則有：

即

解得：

此時

（iii）若，

∴∥

此時在上，不滿足題意. ②線段長的最大值為

【例4】（（甘肅蘭州）（1）依題意可知，折痕是四邊形的對稱軸，

在中，，．

．．

點坐標為（2，4）．

在中，，   又．

 ．   解得：．

點坐標為

（2）如圖①，．

，又知，，

， 又．

而顯然四邊形為矩形．

，又     當時，有最大值．

（3）（i）若以為等腰三角形的底，則（如圖①）

在中，，，為的中點，

．

又，為的中點．

過點作，垂足為，則是的中位線，

，，

當時，，為等腰三角形．

此時點坐標為．

（ii）若以為等腰三角形的腰，則（如圖②）

在中，．

過點作，垂足為．

，．

．

，．

，，

當時，（），此時點坐標為．

綜合（i）（ii）可知，或時，以為頂點的三角形為等腰三角形，相應點的坐標為或．

【學力訓練】

1、(諸暨中學)（1）t=

（2）OC=CP 過點C作X軸的平行線，交OA與直線BP于點T、H，證△OTC≌△CHP即可

（3）①（0≤t≤1）

②當t=0或1時，△PBC為等腰三角形，即P（1.1）, P（1，1－）

2、(湖北天門) (1)N()

(2)①AM=AN

,,,

②MN=AM

(舍去)或

③MN=AN

,

(3)不能

當N()時，△OMN為正三角形

由題意可得：,解得：

點N的速度為：

3、 (吉林省長春市)（1）作于，則．

，．