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【思路點撥】（1）設BP為t，則AQ = 2t，證△APQ ∽△ABC；（2）過點P作PH⊥AC于H．

（3）構建方程模型，求t；（4）過點P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四邊形PQP ′ C是菱形，那么構建方程模型后，能找到對應t的值。

【例3】（山東德州）如圖（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．  

（1）用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；     

（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？       

（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

       圖（1）                     圖（2）               圖（3）

【思路點撥】（1）證△AMN ∽ △ABC；（2）設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，先求出OD（用x的代數式表示），再過M點作MQ⊥BC 于Q，證△BMQ∽△BCA；（3）先找到圖形孌化的分界點，＝2。然后 分兩種情況討論求的最大值： ① 當0＜≤2時， ② 當2＜＜4時。

【學力訓練】

1、（山東威海）  如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．

（1）求梯形ABCD的面積； 

（2）求四邊形MEFN面積的最大值．

（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，

求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．  

2、（浙江溫州市）如圖，在中，，，，分別是邊的中點，點從點出發沿方向運動，過點作于，過點作交于，當點與點重合時，點停止運動．設，．

（1）求點到的距離的長；

（2）求關于的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，

請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．

3、（湖南郴州）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F． FE與DC的延長線相交于點G，連結DE，DF．．

（1） 求證：ΔBEF ∽ΔCEG．

（2） 當點E在線段BC上運動時，△BEF和

△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由．

（3）設BE＝x，△DEF的面積為 y，請你求

出y和x之間的函數關系式，并求出當x為何

值時,y有最大值，最大值是多少？

4、（浙江臺州）如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點（點不與點，點重合），過點作直線，交邊于點，再把沿著動直線對折，點的對應點是點，設的長度為，與矩形重疊部分的面積為．

（1）求的度數；

（2）當取何值時，點落在矩形的邊上？

（3）①求與之間的函數關系式；

②當取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的？