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1． 集合A＝{x｜－3＜x＜5}，B＝{x｜x＜1或x＞4}，則_RA∩_R B是（       ）

    A．                               B．{x｜－3≤x≤5}

C．{x｜－3≤x≤1或4≤x≤5}          D．{x｜x≤－3或1≤x≤4或x≥5}

2． _{函數的定義域為（        ）}

A．（－∞，）    B．（，＋∞）   C．（，2］         D．（，2）

3． 設數列{a_n}是等差數列，且a₂＝－9，a₇＝11，S_n是數列{a_n}是的前n項和，則（     ）

A．S₇＝S₈                 B．S₈＞0              C．S₇＝0            D．a₄＞0

4． 把函數y＝cos(x＋)的圖象向右平移φ個單位，所得的圖象正好關于y軸對稱，

則φ的最小正值為（          ）

    A．            B．              C．            D．

5． 已知a、b為向量，下列命題中正確的是（           ）

A．                      B．若，則

C．≥                             D．

6． 點P（x，y）在以A（－3，1），B（－1，0），C（－2，－2）為頂點的△ABC的內部運動（不包含邊界），則的取值范圍是（           ）

A．［，］     B．（1，）　　C．（，）     D．（，1）

7． 三棱錐P―ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直且PA＝2，PB＝4，PC＝2，如果三棱錐的四個頂點都在同一球面上，那么這個球的球心到直線PB的距離為（       ）

       A．          B．5　　　　　C．       　  D．

8． 曲線y²＝4x上的點P到點A（－2，4）與到y軸的距離之和為d，則d的最小值是 （      ）

    A．        B．3             　C．4           D．5

9． 某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且這7個車隊的車型號都相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個隊至少抽1輛車，則不同抽法的種數為（    ）

A．7              B．28                   C．35          D．84

10．若f（x）是R上的減函數，且f（x）的圖象經過點A（0，4）和點B（3，－2），則當不等式 的解集為（－1，2）時，t的值為（          ）

       A．－1               B．0               C．1             D．2

11．復數的值是__________ ．

12．以原點為圓心，且截直線所得弦長為8的圓的方程是___________ ．

13．的值等于_________________ ．

14．使有實數解的a的取值范圍是_________________．

15．已知－≤x≤，要使成立，則實數m的取值范圍是__________．

16．如果方程恰有唯一解，則實數k的取值范圍是___________________．

17．（本小題滿分12分）已知函數f（x）＝cos⁴x－2sinxcosx－sin⁴x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的對稱軸方程；

（Ⅲ）求f（x）的單調遞減區間．

18．（本小題滿分12分）從一批含有13只正品，2只次品的產品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，設抽得次品數為． （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求E．

19．（本小題滿分12分）

已知函數f（x）＝ax⁴＋bx²＋c的圖象經過點（0，2），且在x＝1處的切線方程

是y＝－4x＋．

（Ⅰ）求函數y＝f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函數y＝f（x）的單調遞減區間；

（Ⅲ）求函數y＝f（x）在區間［－4，1］上的最值．

20．（本小題滿分12分）

如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4．

E是PD的中點．

（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；              

    （Ⅱ）求二面角E－AC－D所成平面角的余弦值；

    （Ⅲ）求B點到平面EAC的距離．

21．（本小題滿分14分）已知等差數列{a_n}的首項a₁＝1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設b_n＝（n∈N^*），S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，是否存在最大的整數t，使得任意的n均有S_n＞總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

22．（本小題滿分14分）已知橢圓C的方程為 ，過其左焦點F₁（－1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．

（Ⅰ）若與=（－3，1）共線，求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知直線l：，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

天津市河北區2007屆高三第一次模擬考試數學理科解答

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

D

B

C

A

C

D

C

11．2              12．    13．

14．          15．m≥          16．k∈（－∞，0］∪（，＋∞）

17．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ） f（x）＝(cos⁴x－sin⁴x)－2sinx?cosx＝(cos²x－sin²x)－sin2x

＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)． ………………………… 4分

∴f（x）的最小正周期T＝＝π．  …………………………………… 6分

（Ⅱ）2x＋＝kπ，則x＝－，k∈Z．

∴函數f（x）的對稱軸方程是x＝－，k∈Z． …………………… 8分

（Ⅲ）令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π， ………………………………………… 10分

則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．

故f（x）的單調遞減區間為［kπ－，kπ+］，k∈Z．  ………… 12分

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）的分布如下：

0

1

2

P

　　              …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．……………………12分

19．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意知（x）＝4ax³＋2bx，   …………………………………… 2分

f（0）＝2，（1）＝－4，f（1）＝－，

∴ ． ………………………………………………………… 4分

∴a＝，b＝－，c＝2．

∴f（x）＝x⁴－x²＋2．  ………………………………………………… 6分

（Ⅱ）∵（x）＝x³－5x，  ……………………………………………………… 7分

由x³－5x＜0，得x∈（－∞，－）∪（0，），

∴f（x）的單調遞減區間為（－∞，－）和（0，）． ……………… 9分

（Ⅲ）∵在區間［－4，1］上有，，…………………… 10分

∴解得，，，f（1）＝－．

∴在區間［－4，1］上函數y＝f（x）的最大值為26，最小值為． … 12分

20．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ），，

．   ……………………………………………………………… 2分

    而 

．

∵，

．  ………………………………………………… 4分

（Ⅱ）取中點， 連結 ， 則 ,

∵平面，  

∴平面，

過作交于，連結，

則 就是二面角所成平面角．  ………………………… 6分

由，則.

在中，   解得

因為是的中點，所以． ……………………………… 7分

而，由勾股定理可得． ……………………………… 8分

∴．  ……………………………… 9分

（Ⅲ）連結BE，在三棱錐B－EAC中，

，  …………………………… 10分

． ………………… 11分

    點E到底面BAC的距離EO＝1，

則由，即，

  求得．

所以B點到平面EAC的距離是．  ……………………………………… 12分

21．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由題意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²， ……………………… 2 分

整理得2a₁d＝d²．

∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2．  ………………………………………… 4 分

∴a_n＝2n－1（n∈N^*）．   …………………………………………………… 6 分

（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］

＝（1－）＝．   …………………………………… 10 分

假設存在整數t滿足S_n＞總成立.

又S_n+1－S_n＝－＝＞0，

∴數列{S_n}是單調遞增的．   ……………………………………………… 12 分

∴S₁＝為S_n的最小值，故＜，即t＜9．

又∵t∈N^*，

∴適合條件的t的最大值為8．   ………………………………………… 14 分

22．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）將直線PQ的方程為，

       化簡得．

       令則 ．  ……………………… 2分

由，  與=（－3，1）共線，得

    ∴．

∴，即，∴．  ………………… 4分

又∵，   ∴．

所以橢圓C的方程為．  …………………………………… 6分

（Ⅱ）設橢圓C的右焦點為F₂，則易知F₁（－1，0）F₂（1，0），

直線l的方程為：，因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大，只須｜|MF₁|－|MF₂|｜最大，   …………………………………………………… 8分

設F₂（1，0）關于直線l的對稱點為，

則可求（，－），則直線與直線l的交點為所求M，

得M（，－）． ……………………………………… 10分

又=｜|MF₁|－|MF₂|｜=｜|MF₁|－|M|｜≤＝， ……… 12分

∴，．

故所求雙曲線E方程為： ． ……………………………… 14分