第十四章 生活中的軸對稱
§14.1 軸對稱
知識要點
1．軸對稱圖形和軸對稱
（1）如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．毛
（2）有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數條對稱軸．
（3）有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點．兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對稱．
（4）圖形軸對稱的性質：如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
（5）軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關系，成軸對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形是全等形，并且成軸對稱．
2．線段的垂直平分線
（1）經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）．
（2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點距離相等的所有點的集合．
例：如圖，點D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點，DG⊥AB于點G，DH⊥AC交AC的延長線于點H，求證BG=CH．
分析：由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分線的性質），而DE是BC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可得到BD=CD，于是可利用“HL”證明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．
證明：連接BD、CD ∵點D在∠BAC的平分線上，又DG⊥AB、DH⊥AC；
∴DG=DH（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）
∵DE是BC的垂直平分線
∴DB=DC（線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）
∵DG⊥AB、DH⊥AC ∴∠BGD=∠CHD=90°
在Rt△BDG和Rt△CDH中，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL） ∴BG=CH（全等三角形的對應邊相等）
練習題
(第一課時)
一、選擇題
1．下列說法錯誤的是 （ ）
A．關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等;B．軸對稱圖形至少有一條對稱軸
C．全等三角形一定能關于某條直線對稱;D．角是關于它的平分線對稱的圖形
2．如圖，其中是軸對稱圖形的是（ ）
3．如圖所示的圖案中，是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（ ）
二、填空題
4．把一個圖形沿某一條直線_________，如果它能夠與另一個圖形________，那么就說這兩個圖形關于這條直線____________．
5．如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做__________．
6．觀察圖中的兩個圖案，是軸對稱圖形的是__________，它有________條對稱軸．
7．如圖，△ABC與△AED關于直線1對稱，若AB=2cm，∠C=95°，則AE=____，∠D=___度．
8．坐標平面內，點A和B關于x軸對稱，若點A到x軸的距離是3cm，則點B到x軸的距離是__________．
三、解答題
9．上圖中的圖形都是軸對稱圖形，請你試著畫出它們的對稱軸．
10．如圖，△ABC與△ADE關于直線MN對稱．BC與DE的交點F在直線MN上．①指出兩個三角形中的對稱點；②指出圖中相等的線段和角；③圖中還有對稱的三角形嗎？
四、探究題
11．如圖，把一張紙片對折后，用筆尖在紙上扎出圖（3）所示的圖案，將紙打開后鋪平，觀察你所得的圖案．位于折痕兩側的部分有什么關系？與同伴交流你的想法．
答案:
1．C 2．B 3．D 4．折疊；重合；對稱 5．軸對稱圖形
6．（2）6 7．2cm；95 8．3cm 9．略
10．①A與A，B與D，C與E是對稱點；
②AB=AD、AC=AE、BC=DE、BF=DF、EF=CF；
③△AEF與△ACF
11．折痕兩側的部分關于折痕軸對稱
練習題
(第二課時)
一、選擇題
1．點P是△ABC中邊AB的垂直平分線上的點，則一定有（ ）
A．PA=PB B．PA=PC C．PB=PC D．點P到∠ACB的兩邊的距離相等
2．下列說法錯誤的是（ ）
A．D、E是線段AB的垂直平分線上的兩點，則AD=BD，AE=BE
B．若AD=BD，AE=BE，則直線DE是線段AB的垂直平分線
C．若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上
D．若PA=PB，則過點P的直線是線段AB的垂直平分線
3．在銳角△ABC內一點P滿足PA=PB=PC，則點P是△ABC（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點
C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點
4．△ABC中AC>BC，邊AB的垂直平分線與AC交于點D，已知AC=5，BC=4，則△BCD的周長是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．平面內到不在同一條直線的三個點A、B、C的距離相等的點有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
二、填空題
6．經過線段的___________________的直線，叫做這條線段的垂直平分線．
7．線段的垂直平分線上的點_______________________________；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的____________________上，因此線段的垂直平分線可以看成___________________的集合．
8．線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是____________________．
9．如圖1，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中點，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周長是24cm，則BC=_________．
(1) (2)
10．如圖1，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若△ABC與△EBC的周長分別是26cm、18cm，則AC=_________．
三、解答題:
11．△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點P，求證：點P在BC的垂直平分線上．
12．如圖2，直線AD是線段BC的垂直平分線，求證：∠ABD=∠ACD.
四、探究題
13．如圖，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求證：直線AD是CE的垂直平分線．
答案:
1．A 2．D 3．D 4．A 5．B 6．中點并且垂直于這條線段
7．與這條線段兩個端點的距離相等；垂直平分線；與線段兩個端點距離相等的所有點
8．這條線段的垂直平分線或這條線段所在的直線
9．10cm 10．8 11．證明PB=PC
12．證明△ABD≌△ACD（SSS） 13．證明AE=AC，DE=DC
練習題
(第三課時)
一、選擇題
1．如圖所示的標志中，是軸對稱圖形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如圖是用紙折疊成的圖案，其中是軸對稱圖形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．剪紙是中國的民間藝術，剪紙的方法很多，下面是一種剪紙方法的圖示（如圖1，先將紙折疊，然后再剪，展開即得到圖案）：圖2中的四個圖案，不能用上述方法剪出的是（ ）
(1)
(2)
二、填空題:
4．軸對稱圖形中任意一組對應點的連線段的__________________是該圖形的對稱軸．
5．如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的__________．
6．角是軸對稱圖形，其對稱軸是________________________所在的直線．
7．平面內兩點A、B關于____________________________對稱．
三、解答題:
8．如圖，已知△ABC，請用直尺與圓規作圖，將三角形的面積兩等分．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）
9．已知圖中的圖形都是軸對稱圖形，請你畫出它們的對稱軸．
10．如圖，已知點M、N和∠AOB，求作一點P，使P到點M、N的距離相等，且到∠AOB的兩邊的距離相等．
四、探究題
11．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線m對稱．
（1）結合圖形指出對稱點．
（2）連接A、A′，直線m與線段AA′有什么關系？
（3）延長線段AC與A′C′，它們的交點與直線m有怎樣的關系？其它對應線段（或其延長線）的交點呢？你發現了什么規律，請敘述出來與同伴交流．
答案:
1．C 2．C 3．D 4．垂直平分線 5．垂直平分線
6．角的平分線 7．線段AB的垂直平分線
8．略 9．略
10．作線段MN的垂直平分線和∠AOB的平分線，它們的交點即點P
11．①m⊥AA′；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．毛
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