青島市2009年模擬練習
高中數學（理科） 2009.05
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆和0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）將姓名、準考證號、考試科目、試卷類型填涂在答題卡規定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案不能答在試題卷上．
3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆（中性筆）作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合
，則
A．
B．
C．
D．
2.
為虛數單位
的二項展開式中第七項為
A．
B．
C．
D．
3. 設
都是非零向量，那么命題“
與
共線”是命題“
”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
4．如右圖為長方體木塊堆成的幾何體的三視圖，
則組成此幾何體的長方體木塊塊數共有
A．3塊 B．4塊 C．5塊 D．6塊
5. 已知各項不為
的等差數列
，滿足
，數列
是等比數列，且
，則
A.
B.
C.
D.
6．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程
看作時間
的函數，其圖象可能是
 |
7. 已知雙曲線
的一條漸近線方程為
，則雙曲線的離心率為
A．
B．
C．
D．
8．某程序框圖如右圖所示，現輸入如下四個函數，則可以輸出的函數是
A．
B．
C．
D．
9．如右下圖，在一個長為
，寬為2的矩形
內，曲線
與
軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形內隨機投一點（該點落在矩形內任何一點是等可能的），則所投的點落在陰影部分的概率是
A．
B. 
C.
D.
10. 已知直線
平面
，直線
平面
，給出下列命題中
①
∥
；②
∥
；
③
∥
；④
∥
.其中正確的是
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③學
11. 已知
船在燈塔
北偏東
且到的距離為
，
船在燈塔西偏北
且到的距離為
，則
兩船的距離為
A.
B. 
C. 
D.
12．把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在右圖圖案中的
所示的位置上，其中三盆蘭花不能放在一條直線上，
則不同的擺放方法為
A．
種 B．
種 C．
種 D．
種
網第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
 |
則第
個圖案中有白色地面磚的塊數是
.
14．已知
，則
的值等于
.
15．已知函數
滿足
，且
時，
，則與
的圖象的交點個數為
.學科網
16．若不等式
對于一切非零實數均成立，則實數
的取值范圍是
．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知向量
（
為常數且
）,函數
在
上的最大值為.
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）把函數
的圖象向右平移
個單位，可得函數
的圖象，若在
上為增函數，求的最大值.
18. （本小題滿分12分）
某種食品是經過、、三道工序加工而成的，、、工序的產品合格率分別為
、
、
．已知每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工的產品都為合格時產品為一等品；有兩道合格為二等品；其它的為廢品，不進入市場．
（Ⅰ）正式生產前先試生產袋食品，求這２袋食品都為廢品的概率；
（Ⅱ）設
為加工工序中產品合格的次數，求的分布列和數學期望．
19．（本小題滿分12分）
如圖1所示，在邊長為
的正方形
中，
，且
，
,
分別交
于點
，將該正方形沿、
折疊，使得
與
重合，構成如圖2所示的三棱柱
中
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）在底邊
上有一點
,
,
求證：
面
(III)求直線
與平面所成角的正弦值．
20．（本小題滿分12分）
在數列
中，
.
(Ⅰ)求證：數列
為等差數列；
(Ⅱ)設數列
滿足
，若
對一切
且
恒成立，求實數
的取值范圍.
21．（本小題滿分12分）已知函數
，直線與函數圖象相切.
（Ⅰ）求直線的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設函數
，已知函數
的圖象經過點
，求函數
的極值.
22. （本小題滿分14分）已知兩點
，點
為坐標平面內的動點，且滿足
.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設過點
的直線斜率為，且與曲線相交于點
、
，若、兩點只在第二象限內運動，線段
的垂直平分線交軸于
點，求點橫坐標的取值范圍.
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數學（理科）答案及評分標準 2009.05
CＡＢＢＤ，ＡＡＤＡＤ，ＢＢ
二、填空：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
13．
; 14．
;學科網 15．
; 16．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
………3分
因為函數
在上的最大值為，所以
故
…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
把函數的圖象向右平移個單位，
可得函數
…………………………………………8分
又
在上為增函數
的周期
即
所以的最大值為…………………………12分
18. （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）２袋食品都為廢品的情況為
①２袋食品的三道工序都不合格
……………2分
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有兩道工序不合格
……………4分
③兩袋都有兩道工序不合格
所以２袋食品都為廢品的概率為
……………6分
（Ⅱ）
………8分
………10分
………12分
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因為，，
所以
，從而
，即
．………………………2分
又因為
，而
，
所以
平面
,又
平面
所以；………………4分
（Ⅱ）解：過作
交
于,連接
,
因為
……………6分
四邊形
為平行四邊形
,所以平面…………………………8分
(III)解：由圖1知，
,分別以
為
軸，
則
………10分
設平面的法向量為
，
所以
得
，
令
，則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為
…………………………12分
20．（本小題滿分12分）
解:(Ⅰ) 由
變形得：
即
所以
…………………4分
故數列
是以
為首項，為公差的等差數列………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
…………………………6分
所以
…………………………7分
設
………………8分
則
兩式相除得：
……10分
所以
是關于
的單調遞增函數，則
故實數的取值范圍是
…………………………12分
21．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設切點坐標為
， 
………………………2分
則
…………………………4分
根據題意知：
，即
,所以
又
，則
,即
所以
…………………………6分
（Ⅱ）顯然
的定義域為
………7分
則
………………………8分
又因為函數的圖象經過點,代入
求得：
,則
……………10分
由此可知：當
時，有
，此時為單調增函數；
當
時，有
，此時為單調減函數；
所以在區間
上只有極大值即
…12分
22. （本小題滿分14分）
解:(Ⅰ)設點
，根據題意則有：
代入得：
…………3分
整理得點的軌跡的方程
…………………………5分
(Ⅱ)設
由題意得:的方程為
(顯然
)
與聯立消元得：
…………………………7分
則有：
因為直線交軌跡于兩點，則
，
再由
，則
，故
………………………8分
可求得線段中點的坐標為
所以線段的垂直平分線方程為
…………………………10分
令
得點橫坐標為
…………………………………12分
所以點橫坐標的取值范圍為
…………14分
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