Question

如圖所示，在MN左側有相距為d的兩塊正對的平行金屬板P、Q，板長L=

3

d/3，兩板帶等量異種電荷，上極板帶負電．在MN右側存在垂直于紙面的矩形勻強磁場（圖中未畫出），其左邊界和下邊界分別與MN、AA’重合（邊界上有磁場）．現有一帶電粒子以初速度v₀沿兩板中央OO′射入，并恰好從下極板邊緣射出，又經過在矩形有界磁場中的偏轉，最終垂直于MN從A點向左水平射出． 已知A點與下極板右端的距離為d．不計帶電粒子重力．求：
（1）粒子從下極板邊緣射出時的速度；
（2）粒子從O運動到A經歷的時間；
（3）矩形有界磁場的最小面積．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子做平拋運動，由運動的分解可得平行極板方向做勻速運動，垂直此方向做勻加速運動，根據運動學公式即可求解；
（2）粒子做平拋運動后進入磁場做勻速圓周運動，根據幾何關系可得已知長度與運動軌跡的半徑的表達式．再由軌跡對應的圓心角，從而求出所需要的時間；
（3）從幾何角度得出磁場的最小區域，再由面積公式即可求解．

解答：解：（1）帶電粒子在電場中平行極板方向勻速運動：

3

3

d=v0t
豎直方向從靜止開始做勻加速運動：

1

2

d=

1

2

vyt，
解得vy=

3

v0
則粒子從下極板邊緣射出時的速度為v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0，
且與豎直方向成30⁰角．
（2）帶電粒子在電場中運動的時間t1=

3

3v0

d，由幾何關系可得r=

d

3

，
離開電場后先做勻速運動，勻速運動的時間t2=

3

2v0

r=

3

6v0

d
然后進入磁場，在磁場中偏轉120⁰到達A，
t3=

T

3

=

2πr

6v0

=

πd

9v0

所以帶電粒子從O運動至A所用的總時間為
t=t₁+t₂+t₃=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

（3）由軌跡示意圖可知，磁場區域寬等于軌跡半徑r，高等于

3r

2

，而r=

d

3

，
所以矩形有界磁場的最小面積為S=r×

3r

2

=

d2

6

答：（1）粒子從下極板邊緣射出時的速度為2v₀，方向與豎直方向成30⁰角；
（2）粒子從O運動到A經歷的時間時間=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

；
（3）矩形有界磁場的最小面積為

d2

6

．

點評：理解平拋運動處理的運動分解規律，掌握勻速圓周運動的：定圓心、畫軌跡、求半徑的方法．同時運用幾何知識來結合求解．