Question

如圖所示，一塊足夠長(zhǎng)的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號(hào)是1、2、3、…、n的木塊，所有木塊的質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，木板的質(zhì)量與所有木塊的總質(zhì)量相等．在t=0時(shí)刻木板靜止，第l、2、3、…、n號(hào)木塊的初速度分別為v_o、2v_o、3v_o、…、nv_o，方向都向右．最終所有木塊與木板以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)．試求：
（1）所有木塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度v_n
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t
（3）第（n-1）號(hào)木塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度v_n-1．

Answer 1

（1）木塊與木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以木塊的初速度方向?yàn)檎�方向�?br>對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：m（v_o+2v_o+3v_o+…+nv_o）=2nmv_n，
解得：v_n=

(n+1)v0

4

；
（2）第n號(hào)木塊始終做勻減速運(yùn)動(dòng)，所以對(duì)第n號(hào)木塊，
由動(dòng)量定理得：-μmg t=mv_n-mnv_o，
解得：t=

(3n-1)v0

4μg

；
（3）第（n-1）號(hào)木塊與木板相對(duì)靜止時(shí)，它在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度最小，設(shè)此時(shí)第n號(hào)木塊的速度為v．
對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律：m（v_o+2v_o+3v_o+…+nv_o）=（2n-1）m v_n-1+mv ①
對(duì)第n-1號(hào)木塊，由動(dòng)量定理得：-μmg t′=m v_n-1-m（n-1）v_o②
對(duì)第n號(hào)木塊，由動(dòng)量定理得：-μmg t′=mv-mnv_o③
由①②③式解得：v_n-1=

(n-1)(n+2)v0

4n

．
答：（1）所有木塊與木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度v_n為

(n+1)v0

4

；
（2）從t=0到所有木塊與木板共同勻速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t=

(3n-1)v0

4μg

；
（3）第（n-1）號(hào)木塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度v_n-1=

(n-1)(n+2)v0

4n

．