Question

目前，我國正在實施“嫦娥奔月”計劃.如圖所示，登月飛船以速度v₀繞月球做圓周運動，已知飛船質量為m=1.2×10⁴kg，離月球表面的高度為h=100km，飛船在A點突然向前做短時間噴氣，噴氣的相對速度為u=1.0×10⁴m/s，噴氣后飛船在A點的速度減為v_A，于是飛船將沿新的橢圓軌道運行，最終飛船能在圖中的B點著陸（A、B連線通過月球中心，即A、B兩點分別是橢圓的遠月點和近月點），試問：

（1）飛船繞月球做圓周運動的速度v₀是多大？

（2）由開普勒第二定律可知，飛船在A、B兩處的面積速度相等，即r_Av_A=r_Bv_B，為使飛船能在B點著陸，A點的速度v_A是多大？已知月球的半徑為R=1700km，月球表面的重力加速度為g=1.7m/s²（選無限遠處為零勢能點，物體的重力勢能大小為E_p=）.

Answer 1

（1）v₀=1652m/s

（2）v_A=1628m/s

解析:

（1）當飛船以v₀繞月球做半徑為r_A=R+h的圓周運動時，由牛頓第二定律得，

則

式中M表示月球的質量，R為月球的半徑，為月球表面的重力加速度，

所以代入數據得，v₀=1652m/s

（2）根據開普勒第二定律，飛船在A、B兩處的面積速度相等，所以有r_Av_A=r_Bv_B，

即（R+h）v_A=Rv_B  ①

由機械能守恒定律得，  ②

由①②式并代入數據得，v_A=1628m/s