Question

隨著越來越高的摩天大樓在各地的落成，至今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經漸漸地不適用了。這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應增加，這些鋼索會由于承受不了自身的重量，還沒有掛電梯就會被扯斷。為此，科學技術人員正在研究用磁動力來解決這個問題。如圖所示就是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁= B₂=1T，兩磁場始終豎直向上作勻速運動。電梯橋廂固定在如圖所示的一個用超導材料制成的金屬框abcd內（電梯橋廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．電梯載人時的總質量為5×10³kg，所受阻力F_f=500N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd=2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻R=9.5×10^－4Ω，假如設計要求電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運動，那么，

（1）磁場向上運動速度v₀應該為多大？
（2）在電梯向上作勻速運動時，為維持它的運動，外界必須提供能量，那么這些能量是由誰提供的？此時系統的效率為多少？

Answer 1

（1） 13m/s   （2）  76.2％  

（1）當電梯向上用勻速運動時，金屬框中感應電流大小為
                                  ①（2分）
金屬框所受安培力                ②（2分）
安培力大小與重力和阻力之和相等，所以
                                  ③（2分）
由①②③式求得：v₀="13m/s.                            " （1分）
（2）運動時電梯向上運動的能量由磁場提供的．              （1分）
磁場提供的能量分為兩部分，一部分轉變為金屬框的內能，另一部分克服電梯的重力和阻力做功．當電梯向上作勻速運動時，金屬框中感應電流由①得：
      I =1.26×10⁴A                                 （1分）
金屬框中的焦耳熱功率為：P₁ = I²R =1.51×10⁵W        ④（1分）
而電梯的有用功率為：P₂ = mgv₁=5×10⁵W              ⑤（1分）
阻力的功率為：P₃ = F_f v₁=5×10³W                    ⑥（1分）
從而系統的機械效率=％           ⑦（1分）
=76.2％                        ⑧ （1分）