Question

（2011?淮安三模）如圖所示，半徑R=0.4m的圓盤水平放置，繞豎直軸OO′勻速轉動，在圓心O正上方h=0.8m高處固定一水平軌道PQ，轉軸和水平軌道交于O′點．一質量m=1kg的小車（可視為質點），在F=4N的水平恒力作用下，從O′左側x₀=2m處由靜止開始沿軌道向右運動，當小車運動到O′點時，從小車上自由釋放一小球，此時圓盤半徑OA與x軸重合．規定經過O點水平向右為x軸正方向．小車與軌道間的動摩擦因數μ=0.2，g取10m/s²．求：
（1）若小球剛好落到A點，求小車運動到O′點的速度．
（2）為使小球剛好落在A點，圓盤轉動的角速度應為多大．
（3）為使小球能落到圓盤上，求水平拉力F作用的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）物塊離開O′點后做平拋運動，可以求出平拋運動的時間和平拋運動的初速度，從而得出小車運動到O′點速度（2）若圓盤轉一圈，物塊恰好調入小桶，此時作用力時間最短．圓盤轉一圈的時間與平拋運動時間是相等．從而得出圓盤轉動的角速度最小值．也有可能在平拋運動時間內，圓盤轉動N圈．因此求出轉動角速度．
（3）小球能落在圓盤上，則可利用平拋運動，可求出小球拋出的速度范圍，從而得出小球的加速度的范圍．最終運用牛頓第二定律可求出水平拉力的距離范圍．

解答：解：（1）小球離開小車后，由于慣性，將以離開小車時的速度作平拋運動，h=

1

2

gt2
 R=vt         
小車運動到O′點的速度v=

R

t

=1m/s
（2）為使小球剛好落在A點，則小球下落的時間為圓盤轉動周期的整數倍，有t=kT=

2kπ

ω

，其中k=1，2，3…
即ω=2kπ

g 2h

=5kπrad/s，其中k=1，2，3…
（3）小球若能落到圓盤上，其在O′點的速度范圍是：0＜v≤1m/s     
設水平拉力作用的最小距離與最大距離分別為x1、x2，對應到達O′點的速度分別為0、1m/s．
由動能定理，有 Fx₁-μmgx₀=0    
代入數據解得x₁=1m
根據動能定理，有 Fx2-μmgx0=

1

2

mv2-0 
代入數據解得x₂=1.125m或

9

8

m
則水平拉力F作用的距離范圍  1m＜x≤1.125m     
答：（1）若小球剛好落到A點，求小車運動到O′點的速度1m/s．
（2）為使小球剛好落在A點，圓盤轉動的角速度應為ω=2kπ

g 2h

=5kπrad/s，其中k=0，1，2，3…
（3）為使小球能落到圓盤上，求水平拉力F作用的距離范圍 1m＜x≤1.125m

點評：解決本題的關鍵知道物塊整個過程的運動：勻加速直線運動、勻減速直線運動和平拋運動，知道三個過程的運動時間與圓盤轉動的時間相等．以及熟練運用運動學公式．