Question

如圖所示，宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上P點沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的密度；
（3）該星球的第一宇宙速度v；
（4）人造衛星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）根據平拋運動規律列出水平方向和豎直方向的位移等式，結合幾何關系求出重力加速度．
（2）忽略地球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式．根據密度公式求解．
（3）該星球的近地衛星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ

解答：解：（1）設該星球表現的重力加速度為g，根據平拋運動規律：
水平方向：x=v₀t
豎直方向：y=

1

2

gt2
平拋位移與水平方向的夾角的正切值tanα=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

得g=

2v0tanα

t

；                   
（2）在星球表面有：G

Mm

R2

=mg，所以M=

gR2

G

該星球的密度：ρ=

3v0tanα

2πRtG

；                                  
（3）由

GMm

R2

=m

v2

R

，可得v=

GM R

，
又GM=gR²，所以v=

2v0Rtanα t

；        
（4）繞星球表面運行的衛星具有最小的周期，即：
T=

2πR

v

=2πR

t 2v0Rtanα

故答案為：（1）g=

2v0tanα

t

；（2）該星球的密度ρ=

3v0tanα

2πRtG

；（3）該星球的第一宇宙速度v=

2v0Rtanα t

；（4）人造衛星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期2πR

t 2v0Rtanα

點評：處理平拋運動的思路就是分解．重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．